Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas no espaço:
C é a interseção do parabolóide z=x^2+y^2 com o plano z=y+1.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre o parabolóide z = x^2 + y^2 e o plano z = y + 1. O conteúdo principal é parametrização de uma curva definida como interseção de superfícies, e vamos precisar igualar as duas expressões para z, obter uma equação em x,y, reconhecê-la como um círculo no plano xy e então usar coordenadas polares (trigonométricas) para parametrizar.

Passo 2

Igualamos as duas definições de z:
x^2 + y^2 = y + 1

Passo 3

Para pôr essa equação na forma de círculo, completamos o quadrado em y. Isolando:
x^2 + y^2 - y - 1 = 0
escrevemos
y^2 - y = y^2 - y + l(-tfrac12r)^2 - l(-tfrac12r)^2 = (y - tfrac12)^2 - tfrac14

Passo 4

Substituindo de volta:
x^2 + (y - tfrac12)^2 - tfrac14 - 1 = 0 Longrightarrow x^2 + (y - tfrac12)^2 = tfrac54

Passo 5

Então a projeção no plano xy é um círculo de centro (0,tfrac12) e raio raiz5/4 = tfracraiz52.

Passo 6

Para parametrizar esse círculo, usamos um parâmetro t:
x(t) = raiz52cos t, y(t) = 12 + raiz52sin t, 0 <= t < 2pi

Passo 7

Finalmente, recuperamos z pelo plano z = y + 1:
z(t) = y(t) + 1 = 32 + raiz52sin t

Passo 8

Pronto: temos uma parametrização diferenciável e periódica da curva de interseção.

Resposta

A parametrização diferenciável é
r(t) = l(tfracraiz52cos t,;tfrac12 + tfracraiz52sin t,;tfrac32 + tfracraiz52sin tr), 0<= t<2pi

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