Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas no espaço:
C é a interseção do parabolóide
com o plano
.
C é a interseção do parabolóide
Passo 1
O enunciado pede a curva de interseção entre o parabolóide
e o plano
. O conteúdo principal é parametrização de uma curva definida como interseção de superfícies, e vamos precisar igualar as duas expressões para
, obter uma equação em
, reconhecê-la como um círculo no plano
e então usar coordenadas polares (trigonométricas) para parametrizar.
Passo 2
Igualamos as duas definições de
:
Passo 3
Para pôr essa equação na forma de círculo, completamos o quadrado em
. Isolando:
escrevemos
Passo 4
Substituindo de volta:
Passo 5
Então a projeção no plano
é um círculo de centro
e raio
.
Passo 6
Para parametrizar esse círculo, usamos um parâmetro
:
Passo 7
Finalmente, recuperamos
pelo plano
:
Passo 8
Pronto: temos uma parametrização diferenciável e periódica da curva de interseção.
Resposta
A parametrização diferenciável é