Apresente uma parametrização de retas, no plano, que passam pela origem, e também da circunferência de raio r0 centrada no ponto (x0, y0).

Passo 1

Então, o que a gente precisa aqui é encontrar como representar matematicamente duas coisas no plano: primeiro, todas as retas que passam pela origem (o ponto (0,0)), e segundo, a circunferência que tem raio $ r_0 $ e está centrada em um ponto qualquer $ (x_0, y_0) $. Vamos usar conceitos de parametrização, que é uma forma de descrever essas curvas usando um parâmetro, geralmente representado por $ t $.

Passo 2

Vamos começar com as retas que passam pela origem. Uma reta no plano pode ser representada por uma direção e um ponto. Como a reta passa pela origem, só precisamos da direção. Podemos usar um ângulo $ \theta $ para definir essa direção. Assim, à medida que $ \theta $ varia, cobrimos todas as direções possíveis.

Passo 3

Para parametrizar a reta, usamos o parâmetro $ t $ que representa uma distância ao longo da reta a partir da origem. As componentes $ x $ e $ y $ da reta podem ser escritas usando trigonometria:
t
x
Aqui, $ t $ varia de y a $ \infty $, cobrindo toda a reta.

Passo 4

Agora, vamos para a circunferência de raio $ r_0 $ centrada no ponto $ (x_0, y_0) $. Uma circunferência pode ser descrita parametricamente usando um ângulo que gira ao redor do centro. Vamos usar o parâmetro $ t $ para representar esse ângulo, que varia de 0 a $ 2\pi $.

Passo 5

As coordenadas $ x $ e $ y $ na circunferência serão:
x
y
Assim, ao variar $ t $ de 0 a $ 2\pi $, percorremos toda a circunferência ao redor do ponto $ (x_0, y_0) $.

Resposta

Portanto, as parametrizações são:
Para as retas que passam pela origem:
x(t) = t cdot cos(theta)
y(t) = t cdot sin(theta)
Para a circunferência de raio $ r_0 $ centrada em $ (x_0, y_0) $:
r0
(x0, y0)

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