Apresente uma parametrizaçãoo diferenciável para as seguintes curvas planas:
C=(x, y) in R^2 ; x=y^2, 0 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização diferenciável da curva
C=(x,y)inR^2 mid x=y^2,;0<= x<=2
O conteúdo é parametrização de curvas planas: escolhemos uma variável-parâmetro, expressamos x e y em função dele e determinamos seu domínio para abranger toda a curva.

Passo 2

Uma escolha natural é tomar o próprio y como parâmetro: seja t=y. Então temos
y(t)=t,
e como x=y^2,
x(t)=t^2
A condição 0<= x<=2 vira
0 <= t^2 <= 2 Longrightarrow tinl[-raiz2,raiz2r]

Passo 3

Definimos a parametrização
alphacolon [-raiz2,raiz2]toR^2, alpha(t) = l(t^2,;tr)
As coordenadas são polinomiais em t, logo alpha é diferenciável.
Além disso,
alpha'(t) = (2t,,1),
que nunca é o vetor nulo em [-raiz2,raiz2], garantindo regularidade.

Resposta

A parametrização diferenciável é
alpha(t) = l(t^2,;tr), tin[-raiz2,raiz2]

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