Apresente uma parametrizaçãoo diferenciável para as seguintes curvas planas:
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização diferenciável da curva
O conteúdo é parametrização de curvas planas: escolhemos uma variável-parâmetro, expressamos
e
em função dele e determinamos seu domínio para abranger toda a curva.
Passo 2
Uma escolha natural é tomar o próprio
como parâmetro: seja
. Então temos
e como
,
A condição
vira
Passo 3
Definimos a parametrização
As coordenadas são polinomiais em
, logo
é diferenciável.
Além disso,
Além disso,
que nunca é o vetor nulo em
, garantindo regularidade.
Resposta
A parametrização diferenciável é