(1.0) Verifique, utilizando a definição formal, qué a função f(x)=2 x é contínua em p=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=2x e queremos mostrar, usando a definição formal de continuidade, que ela é contínua em p=1. Em outras palavras, vamos provar que
limxto1f(x)=f(1)

Passo 2

A definição formal de continuidade em um ponto diz que f é contínua em p se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que lvert x-prvert<de<a, então
lvert f(x)-f(p)rvert<varepsilon

Passo 3

No nosso caso, p=1 e f(1)=2. Calculamos a diferença
lvert f(x)-f(1)rvert = lvert 2x - 2rvert = 2,lvert x-1rvert
Queremos garantir que 2,lvert x-1rvert<varepsilon.

Passo 4

Para isso, basta escolher
de<a = varepsilon2
De fato, se lvert x-1rvert<de<a, então
lvert f(x)-f(1)rvert = 2,lvert x-1rvert < 2cdotvarepsilon2 = varepsilon
Isso mostra exatamente a condição da definição de continuidade.

Resposta

A função f(x)=2x é contínua em p=1, pois para todo varepsilon>0 podemos tomar de<a=varepsilon/2 e garantir lvert f(x)-f(1)rvert<varepsilon sempre que lvert x-1rvert<de<a.

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