Apresente a resolução.
Usando o ponto A como origem para os vetores:
u=A B=(-7,0,-1) e v=A C=(-3,-2,1)
Para escrever a equação geral, precisamos do vetor n que é ortogonal ao plano. Ele será obtido a partir do produto vetorial entre u e v
n=u times v=(-2,10,14)
Equação Geral:
-2 x+10 y+14 z+D=0
Para determinar o valor de D, usamos o fato do ponto A pertencer ao plano:
-2(4)+10(2)+14(1)+D=0 D=-26
As equações paramétricas são obtidas a partir da combinação dos vetores u e v
l x=4+h u+t v y=2+h u+t v z=1+h u+t v

RESPOSTA:

Equação Geral: pi:-2 x+10 y+14 z-26=0
Equações Paramétricas: pi:lx=4+h(-7,0,-1)+t(-3,-2,1) y=2+h(-7,0,-1)+t(-3,-2,1) z=1+h(-7,0,-1)+t(-3,-2,1)

Passo 1

Temos os pontos
A=(4,2,1), B=(-3,2,0), C=(1,0,2)
e queremos encontrar a equação geral do plano que passa por A,B,C e suas equações paramétricas. Para isso, vamos usar vetores diretores do plano e o vetor normal obtido por produto vetorial.

Passo 2

Calcular os vetores u=AB e v=AC:
u = B - A = (-3-4,;2-2,;0-1) = (-7,0,-1),
v = C - A = (1-4,;0-2,;2-1) = (-3,-2,1)

Passo 3

Obter o vetor normal n=utimesv. Usando determinante:
n = i & j & k -7 & 0 & -1 -3 & -2 & 1 =(0cdot1-(-1)(-2),;-(-7cdot1-(-1)(-3)),;-7cdot(-2)-0cdot(-3)) =(-2,10,14)

Passo 4

A equação geral do plano é
-2x+10y+14z+D=0
Como A(4,2,1) pertence ao plano, substituímos:
-2cdot4 + 10cdot2 + 14cdot1 + D = 0 Longrightarrow -8 + 20 + 14 + D = 0 Longrightarrow D = -26
Logo a equação geral é
-2x+10y+14z-26=0

Passo 5

Para as equações paramétricas, escrevemos o ponto genérico (x,y,z) como A mais combinações de u e v:
(x,y,z) = (4,2,1) + h(-7,0,-1) + t(-3,-2,1)
Separando as componentes:
x = 4 - 7h - 3t, y = 2 ;;-;2t, z = 1 ;-;h + t

Resposta

Equação Geral:
pi:;-2x + 10y + 14z - 26 = 0
Equações Paramétricas:
pi:; x = 4 - 7h - 3t, y = 2 - 2t, z = 1 - h + t

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