Em R^3 defina a adição e a multiplicação por escalar, respectivamente, como:
(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2) & =(x1+x2, y1+y2, 0) alpha(x1, y1, z1) & =(alpha x1, y1, z1)
Essas operações tornam R^3 um espaço vetorial sobre R ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá em R^3 as operações
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,;y1+y2,;0),
alpha,(x1,y1,z1)=(alpha x1,;y1,;z1)
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais sobre R. Para decidir se isso forma um espaço vetorial, vamos checar os axiomas, em particular o axioma do elemento neutro aditivo.

Passo 2

Antes de tudo notamos que a adição é fechada em R^3 e é associativa e comutativa, pois cada componente x e y se soma normalmente e a componente z vira sempre 0. Logo, todos os pares de vetores têm soma bem definida e o grupo abeliano “quase” funciona.

Passo 3

O axioma crucial é a existência de um vetor neutro 0V tal que, para todo v=(x,y,z)inR^3,
v+0V=v
Seja 0V=(a,b,c). Então
(x,y,z)+(a,b,c)=(x+a,;y+b,;0);=;(x,y,z)
Isto exige
x+a=x, y+b=y, 0=z,
para todo x,y,z. Das duas primeiras vem a=0 e b=0; da terceira exigência teríamos z=0 para todo z, o que é impossível. Portanto não existe (a,b,c) que sirva de neutro para todos os vetores.

Passo 4

Como falha a existência do vetor neutro aditivo, a estrutura não é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Não. Falha o axioma do elemento neutro para a adição, logo não é espaço vetorial.

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