Em
defina a adição e a multiplicação por escalar, respectivamente, como:
Essas operações tornam
um espaço vetorial sobre
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá em
as operações
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais sobre
. Para decidir se isso forma um espaço vetorial, vamos checar os axiomas, em particular o axioma do elemento neutro aditivo.
Passo 2
Antes de tudo notamos que a adição é fechada em
e é associativa e comutativa, pois cada componente
e
se soma normalmente e a componente
vira sempre
. Logo, todos os pares de vetores têm soma bem definida e o grupo abeliano “quase” funciona.
Passo 3
O axioma crucial é a existência de um vetor neutro
tal que, para todo
,
Seja
. Então
Isto exige
para todo
. Das duas primeiras vem
e
; da terceira exigência teríamos
para todo
, o que é impossível. Portanto não existe
que sirva de neutro para todos os vetores.
Passo 4
Como falha a existência do vetor neutro aditivo, a estrutura não é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Não. Falha o axioma do elemento neutro para a adição, logo não é espaço vetorial.