Apresente a resolução.
Usando o ponto A como origem para os vetores:
Para escrever a equação geral, precisamos do vetor n que é ortogonal ao plano. Ele será obtido a partir do produto vetorial entre u e v
n=u times v=(-3,7,8)
Equação Geral:
-3 x+7 y+8 z+D=0
Para determinar o valor de D, usamos o fato do ponto A pertencer ao plano: -3(3)+7(2)+8(1)+D=0 D=-13
As equações paramétricas são obtidas a partir da combinação dos vetores u e v
O enunciado trata de encontrar a equação de um plano pi que passa pelos pontos A, B e C. Para isso vamos usar vetores no espaço: definimos u=AB=(-5,-1,-1) e v=AC=(-2,-2,1).
O que precisamos:
Um vetor normal n ao plano (obtido por utimesv).
A equação geral do plano usando n.
As equações paramétricas a partir de A e dos vetores u, v.
Passo 2
Calcular o produto vetorial
n ;=;utimesv = i & j & k -5 & -1 & -1 -2 & -2 & 1 ;=;(-1cdot1 - (-1)(-2),; -5cdot1 - (-1)(-2),; -5cdot(-2) - (-1)(-2))
n =(-1 -2,; -5 -2,;10 -2)=(-3,, -7,,8)
Note que mudamos o sinal em j pelo sinal de cofactor, ficando ( -3,,7,,8).
Passo 3
Com n=(-3,7,8), a equação geral do plano é
-3x+7y+8z+D=0
Passo 4
Para achar D, usamos o fato de A=(3,2,1) pertencer a pi. Substituindo na equação:
-3cdot3 + 7cdot2 + 8cdot1 + D =0 Longrightarrow -9 +14 +8 + D =0 Longrightarrow 13 + D =0 Longrightarrow D = -13
Passo 5
As equações paramétricas vêm de escrever um ponto genérico de pi como
(x,y,z) = (3,2,1) + h,(-5,-1,-1) + t,(-2,-2,1),
onde h,tinR. Então, separando as componentes,
x = 3 - 5h - 2t, y = 2 - 1h - 2t, z = 1 - 1h + 1t
Resposta
Equação geral:
pi:;-3x + 7y + 8z - 13 = 0
Equações paramétricas:
pi:; x = 3 - 5h - 2t, y = 2 - h - 2t, z = 1 - h + t, h,tinR