(1,5) Apresente todos os dados da cônica (foco, vértice, excentricidade e diretriz caso exista) de equação x^{2}+4 y^{2}-2 x=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos, na cônica de equação
x^{2} + 4y^{2} - 2x = 3,
os seguintes dados: foco(s), vértice(s), excentricidade e, se existir, a(s) diretriz(es). O conteúdo é seções cônicas (aqui veremos que é uma elipse), e vamos precisar completar quadrados para obter sua forma canônica.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
x^{2} - 2x + 4y^{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2} - 1 + 4y^{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2} + 4y^{2} = 4.
Dividindo tudo por 4, obtemos a forma padrão:
\frac{(x-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1.

Passo 3

Da forma
\frac{(x-1)^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
identificamos:
a^{2} = 4,\quad b^{2} = 1,\quad a=2,\quad b=1.
O centro da elipse é (1,0) e, como a>b, o eixo maior é horizontal.

Passo 4

A excentricidade de uma elipse é
e = \frac{c}{a},
onde
c^{2} = a^{2} - b^{2} = 4 - 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{3}.
Logo,
e = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Os focos ficam a uma distância c do centro ao longo do eixo maior, ou seja,
F_{1} = \bigl(1 + \sqrt{3},\,0\bigr), \quad F_{2} = \bigl(1 - \sqrt{3},\,0\bigr).

Passo 5

Os vértices da elipse são os pontos em que x-1 = \pm a, portanto
V_{1} = (1+2,\,0) = (3,0), \quad V_{2} = (1-2,\,0) = (-1,0).

Passo 6

Como é elipse, existem duas diretrizes, dadas por
x = h \pm \frac{a}{e}
para elipse horizontal centrada em (h,0). Aqui h=1 e a/e = 2 / (\sqrt{3}/2) = \tfrac{4}{\sqrt{3}}. Logo,
\text{Diretriz}_1: x = 1 + \frac{4}{\sqrt{3}}, \qquad \text{Diretriz}_2: x = 1 - \frac{4}{\sqrt{3}}.

Resposta

Focos: (1+\sqrt{3},0) e (1-\sqrt{3},0)
Vértices: (3,0) e (-1,0)
Excentricidade: \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
Diretrizes: x = 1 + \frac{4}{\sqrt{3}} e x = 1 - \frac{4}{\sqrt{3}}

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