(1,5) Encontre o foco e a diretriz da parábola dada pela equação y^{2}-2 y=x-5.

Passo 1

O enunciado pede o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
y^{2} - 2y = x - 5.
Isso envolve reconhecer que é uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, completar o quadrado em y para colocá-la na forma padrão
(y - k)^{2} = 4p\,(x - h),
e então identificar o vértice (h,k), o parâmetro p, o foco \bigl(h+p,k\bigr) e a diretriz x = h - p.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em y. Partimos de
y^{2} - 2y = x - 5.
No lado esquerdo, escrevemos
y^{2} - 2y + 1 - 1 = x - 5
ou seja
(y - 1)^{2} - 1 = x - 5.
Rearranjando,
(y - 1)^{2} = x - 5 + 1
(y - 1)^{2} = x - 4.

Passo 3

Comparando com
(y - k)^{2} = 4p\,(x - h),
vemos que
k = 1,\quad h = 4,\quad 4p = 1 \implies p = \tfrac{1}{4}.
Assim o vértice é (h,k) = (4,1) e a parábola abre para a direita porque p>0.

Passo 4

O foco está à distância p para a direita do vértice, ou seja
\bigl(h + p,\;k\bigr) = \Bigl(4 + \tfrac{1}{4},\,1\Bigr) = \Bigl(\tfrac{17}{4},\,1\Bigr).
A diretriz é a reta vertical à distância p à esquerda do vértice, dada por
x = h - p = 4 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{15}{4}.

Resposta

O foco é \bigl(\tfrac{17}{4},\,1\bigr) e a diretriz é x = \tfrac{15}{4}.

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