Sejam \left(\mathbb{R}^{+}, \oplus, \odot\right) e (\mathbb{R},+, \cdot) dois espaços vetoriais, onde:
\nu \oplus v=u v, \quad \lambda \odot u=u^{\lambda} \quad \forall u, v \in \mathbb{R}^{+}, \forall \lambda \in \mathbb{R}
e a soma + e produto por um escalar \cdot são os usuais em \mathbb{R}. Determine se as funções:
S: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, onde S(x)=e^{x}, são transformações lineares. Podemos dizer que \mathbb{R}^{+} \cong \mathbb{R} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá dois espaços vetoriais:
O primeiro é \bigl(\mathbb{R}^{+},\oplus,\odot\bigr), onde a “soma” e o “produto por escalar” são dados por
u\oplus v = uv, \quad \lambda\odot u = u^{\lambda},
para todos u,v\in\mathbb{R}^+ e \lambda\in\mathbb{R}.
O segundo é o espaço usual \bigl(\mathbb{R},+,\cdot\bigr).
Definimos a aplicação S\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+ por
S(x)=e^x.
Queremos checar se S é transformação linear entre esses espaços e, em caso afirmativo, se eles são isomorfos (ou seja, \mathbb{R}^+\cong\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrando a definição, uma aplicação S entre espaços vetoriais é linear se, para todo x,y\in\mathbb{R} e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
  1. S(x+y)=S(x)\oplus S(y).
  2. S(\lambda x)=\lambda\odot S(x).

Passo 3

Verifiquemos a primeira propriedade:
S(x+y)=e^{\,x+y}=e^x\cdot e^y.
Pelo modo como a soma \oplus está definida em \mathbb{R}^+, temos
e^x\cdot e^y \;=\;S(x)\oplus S(y).
Logo
S(x+y)=S(x)\oplus S(y).

Passo 4

Agora a segunda propriedade:
S(\lambda x)=e^{\,\lambda x}=(e^x)^{\lambda}.
Pela definição de \odot, concluímos
(e^x)^{\lambda}=\lambda\odot S(x),
ou seja,
S(\lambda x)=\lambda\odot S(x).
Portanto S preserva soma e produto por escalar, isto é, é linear.

Passo 5

Para ver que S é um isomorfismo de espaços vetoriais, falta mostrar que é bijetora. A função exponencial e^x é estritamente crescente e com imagem \mathbb{R}^+, logo é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}^+. Sua inversa é \ln\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, que também respeita as operações dos espaços (verifica-se analogamente).

Resposta

S é transformação linear e bijetora, logo é um isomorfismo de espaços vetoriais. Consequentemente \mathbb{R}^+\cong\mathbb{R}.

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