Sejam
e
dois espaços vetoriais, onde:
e a soma + e produto por um escalar
são os usuais em
. Determine se as funções:
, onde
, são transformações lineares. Podemos dizer que
? Justifique sua resposta.
e a soma + e produto por um escalar
Passo 1
O enunciado nos dá dois espaços vetoriais:
O primeiro é , onde a “soma” e o “produto por escalar” são dados por
O primeiro é
para todos
e
.
O segundo é o espaço usual .
Definimos a aplicação por
O segundo é o espaço usual
Definimos a aplicação
Queremos checar se
é transformação linear entre esses espaços e, em caso afirmativo, se eles são isomorfos (ou seja,
).
Passo 2
Lembrando a definição, uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para todo
e todo escalar
, valem as duas propriedades:
-
. -
.
Passo 3
Verifiquemos a primeira propriedade:
Pelo modo como a soma
está definida em
, temos
Logo
Passo 4
Agora a segunda propriedade:
Pela definição de
, concluímos
ou seja,
Portanto
preserva soma e produto por escalar, isto é, é linear.
Passo 5
Para ver que
é um isomorfismo de espaços vetoriais, falta mostrar que é bijetora. A função exponencial
é estritamente crescente e com imagem
, logo é bijetora de
em
. Sua inversa é
, que também respeita as operações dos espaços (verifica-se analogamente).