(4,0) Para os sistemas lineares a seguir, determine o posto da matriz dos coeficientes, da matriz ampliada e sua nulidade, e resolva cada sistema usando matrizes reduzidas a forma escada.
\left{ \begin{array}{l}x+2 y+z+t=0 \\ x+3 y-z+2 t=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo de duas equações e quatro incógnitas
\begin{cases} x + 2y + z + t = 0,\\\ x + 3y - z + 2t = 0, \end{cases}
e pede o posto da matriz de coeficientes, o posto da matriz ampliada, a nulidade e a solução geral usando forma escada. Vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto e depois expressar as variáveis livres para obter a solução.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes A e a matriz ampliada [A\mid 0]:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad [A\mid 0] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 3 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss na matriz ampliada:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 3 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\;L_2\leftarrow L_2 - L_1\;}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Há pivôs em coluna 1 e coluna 2, logo
\text{posto}(A)=2.
Como o sistema é homogêneo, também
\text{posto}([A\mid 0])=2.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão do Núcleo, a nulidade (dimensão do espaço solução) é
\text{nulidade} = n - \text{posto}(A) = 4 - 2 = 2,
onde n=4 é o número de incógnitas.

Passo 5

Na forma escada as equações correspondentes são
\begin{cases} x + 2y + z + t = 0,\\\ \phantom{x{}}+\,y -2z + t = 0. \end{cases}
Escolhemos z e t como livres: escrevemos z=\lambda, t=\mu. Da segunda equação
y - 2z + t = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 2\lambda - \mu.
Da primeira
x + 2y + z + t = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2y - z - t = -2(2\lambda - \mu) - \lambda - \mu = -5\lambda + \mu.
Assim a solução geral é
(x,y,z,t) = \lambda\,(-5,2,1,0) \;+\;\mu\,(1,-1,0,1), \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

Resposta

posto da matriz de coeficientes: 2
posto da matriz ampliada: 2
nulidade: 2
solução geral:
(x,y,z,t) = \lambda\,(-5,2,1,0) \;+\;\mu\,(1,-1,0,1), \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

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