O aproveitamento dos alunos em determinada disciplina segue uma distribuição normal com nota média de 7,2 e desviopadrão de 3,0.
qual o percentual de alunos cuja nota seja igual ou superior a 6,0?

Passo 1

O enunciado pede o percentual de alunos cuja nota é igual ou superior a 6{,}0. As informações fornecidas são:
  • A nota segue uma distribuição normal com média \mu=7{,}2.
  • Desvio padrão \sigma=3{,}0.
  • Queremos calcular \Pr(X \ge 6{,}0), ou seja, a probabilidade (percentual) de um aluno tirar nota maior ou igual a 6{,}0.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: para uma variável aleatória X com distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma), probabilidades do tipo \Pr(X \le x) ou \Pr(X \ge x) correspondem a áreas sob a curva normal. É muito comum padronizar para a normal padrão Z\sim\mathcal{N}(0,1) porque tabelas ou calculadoras nos dão valores para Z. A padronização transforma X em Z por:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Explicando devagar: subtrai a média (centra a distribuição em zero) e divide pelo desvio padrão (coloca a escala em unidades de “desvio padrão”).

Passo 3

Vamos padronizar o ponto x=6{,}0. Calculemos o valor de z:
z=\frac{6{,}0-7{,}2}{3{,}0}=\frac{-1{,}2}{3{,}0}=-0{,}4.
Isso significa que 6{,}0 está 0{,}4 desvios padrão abaixo da média.

Passo 4

Relacionando probabilidades:
\Pr(X \ge 6{,}0)=\Pr\!\left(Z \ge -0{,}4\right).
Usamos a propriedade da simetria da normal padrão: \Pr(Z \ge -a)=\Pr(Z \le a) para qualquer a. Logo,
\Pr\!\left(Z \ge -0{,}4\right)=\Pr\!\left(Z \le 0{,}4\right).
A função \Phi(z)=\Pr(Z\le z) é a função de distribuição da normal padrão, então buscamos \Phi(0{,}4).

Passo 5

Consultando uma tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística), encontra-se:
\Phi(0{,}4)=0{,}6554.
Nas tabelas a entrada para z=0{,}40 normalmente dá 0{,}6554. Não é preciso interpolar aqui porque 0{,}40 é um valor de tabela exato.

Passo 6

Portanto a probabilidade pedida é
\Pr(X \ge 6{,}0)=0{,}6554,
isto é, 65{,}54\%. Dica prática para a prova: calcule sempre o z com (x-\mu)/\sigma, transforme \Pr(X\ge x) em uma probabilidade em Z e use a simetria para reduzir à forma \Phi(\text{valor positivo}); então leia a tabela.

Resposta

65{,}54\%

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