- A dosagem de nicotina encontrada nos cigarros de uma determinada marca apresenta uma distribuição normal com média de 12 mg e desvio-padrão de
.
a) qual a probabilidade de que, selecionando-se ao acaso um desses cigarros, nele encontrem-se mais de
de nicotina?
b) qual a probabilidade de que, selecionando-se ao acaso um desses cigarros, a dosagem de nicotina esteja entre 11,5 e
?
c) em um maço com 20 cigarros, quantos cigarros apresentam os níveis de nicotina do item b acima?
a) qual a probabilidade de que, selecionando-se ao acaso um desses cigarros, nele encontrem-se mais de
b) qual a probabilidade de que, selecionando-se ao acaso um desses cigarros, a dosagem de nicotina esteja entre 11,5 e
c) em um maço com 20 cigarros, quantos cigarros apresentam os níveis de nicotina do item b acima?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (pegos do enunciado):
- A dosagem de nicotina
segue distribuição normal com média mg e desvio-padrão mg.
- A dosagem de nicotina
- Perguntas:
- (a) Calcular a probabilidade de que, ao selecionar um cigarro ao acaso, nele encontrem-se mais de
mg de nicotina, isto é, . - (b) Calcular a probabilidade de que, ao selecionar um cigarro ao acaso, a dosagem esteja entre
e mg, isto é, . - (c) Em um maço com
cigarros, quantos cigarros apresentam os níveis de nicotina do item (b) acima? (interpreta-se como o valor esperado/número médio de cigarros no maço com essa característica).
- (a) Calcular a probabilidade de que, ao selecionar um cigarro ao acaso, nele encontrem-se mais de
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas).
- Distribuição Normal: uma variável aleatória contínua
é dita normal com média e desvio-padrão se sua densidade é a curva em forma de sino centrada em . Para calcular probabilidades usamos a função de distribuição acumulada, normalmente tabelada para a normal padrão. - Normal padrão: define-se
que converte numa variável com média e desvio-padrão . Isso se chama padronizar. A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por . - Como usar a padronização: para qualquer valor
, Assim, para probabilidades do tipo ou transformamos os limites em valores e usamos a tabela (ou a propriedade de simetria de ). - Propriedade de simetria:
Isso é útil para calcular probabilidades simétricas. - Valores tabelados úteis (valores padrão da normal):
Esses números aparecem em tabelas de normal padrão (ou se lembrar da regra empírica: cerca de dentro de , dentro de , dentro de ).
Passo 3
Resolvendo o item (a) passo a passo.
- Queremos
. - Padronizamos:
Logo - Usando o valor tabelado
, - Interpretação rápida: é uma probabilidade muito pequena (cerca de
), pois mg está desvios-padrão acima da média.
Passo 4
Resolvendo o item (b) passo a passo.
- Queremos
. - Padronizamos os limites:
- Então
- Usando a simetria
, obtemos - Substituindo
, - Interpretação: cerca de
dos cigarros têm dosagem entre e mg, consistindo com a regra empírica para .
Passo 5
Resolvendo o item (c) passo a passo.
- Em um maço com
cigarros, considere cada cigarro como um ensaio onde “sucesso” = o cigarro ter dosagem entre e mg. Cada ensaio tem probabilidade de sucesso (valor do item (b)). - O número de cigarros com essa característica é uma variável aleatória binomial
. - O valor esperado (média) dessa binomial é
- Interpretação prática: em média espera-se que haja aproximadamente
cigarros desse tipo por maço de . Como número de cigarros tem que ser inteiro, isso corresponde, na prática, a cerca de cigarros em média por maço (arredondando).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)