1. A dosagem de nicotina encontrada nos cigarros de uma determinada marca apresenta uma distribuição normal com média de 12 mg e desvio-padrão de 0,5 \mathrm{mg}.
    a) qual a probabilidade de que, selecionando-se ao acaso um desses cigarros, nele encontrem-se mais de 13,5 \mathrm{mg} de nicotina?
    b) qual a probabilidade de que, selecionando-se ao acaso um desses cigarros, a dosagem de nicotina esteja entre 11,5 e 12,5 \mathrm{mg} ?
    c) em um maço com 20 cigarros, quantos cigarros apresentam os níveis de nicotina do item b acima?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • A dosagem de nicotina X segue distribuição normal com média \mu=12 mg e desvio-padrão \sigma=0,5 mg.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a probabilidade de que, ao selecionar um cigarro ao acaso, nele encontrem-se mais de 13,5 mg de nicotina, isto é, P(X>13,5).
    • (b) Calcular a probabilidade de que, ao selecionar um cigarro ao acaso, a dosagem esteja entre 11,5 e 12,5 mg, isto é, P(11,5\le X\le 12,5).
    • (c) Em um maço com 20 cigarros, quantos cigarros apresentam os níveis de nicotina do item (b) acima? (interpreta-se como o valor esperado/número médio de cigarros no maço com essa característica).

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas).
  • Distribuição Normal: uma variável aleatória contínua X é dita normal com média \mu e desvio-padrão \sigma se sua densidade é a curva em forma de sino centrada em \mu. Para calcular probabilidades usamos a função de distribuição acumulada, normalmente tabelada para a normal padrão.
  • Normal padrão: define-se Z=\frac{X-\mu}{\sigma},que converte X numa variável com média 0 e desvio-padrão 1. Isso se chama padronizar. A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Como usar a padronização: para qualquer valor x, P(X\le x)=P\!\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).Assim, para probabilidades do tipo P(X>a) ou P(a\le X\le b) transformamos os limites em valores z e usamos a tabela (ou a propriedade de simetria de \Phi).
  • Propriedade de simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z).Isso é útil para calcular probabilidades simétricas.
  • Valores tabelados úteis (valores padrão da normal): \Phi(1)\approx 0,84134,\qquad \Phi(3)\approx 0,99865.Esses números aparecem em tabelas de normal padrão (ou se lembrar da regra empírica: cerca de 68{,}27\% dentro de \pm1\sigma, 95{,}45\% dentro de \pm2\sigma, 99{,}73\% dentro de \pm3\sigma).

Passo 3

Resolvendo o item (a) passo a passo.
  • Queremos P(X>13,5).
  • Padronizamos: z=\frac{13,5-\mu}{\sigma}=\frac{13,5-12}{0,5}=\frac{1,5}{0,5}=3.Logo P(X>13,5)=P\left(Z>3\right)=1-\Phi(3).
  • Usando o valor tabelado \Phi(3)\approx 0,99865, P(X>13,5)=1-0,99865=0,00135.
  • Interpretação rápida: é uma probabilidade muito pequena (cerca de 0{,}135\%), pois 13{,}5 mg está 3 desvios-padrão acima da média.

Passo 4

Resolvendo o item (b) passo a passo.
  • Queremos P(11,5\le X\le 12,5).
  • Padronizamos os limites: z_1=\frac{11,5-12}{0,5}=\frac{-0,5}{0,5}=-1,\qquad z_2=\frac{12,5-12}{0,5}=\frac{0,5}{0,5}=1.
  • Então P(11,5\le X\le 12,5)=P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
  • Usando a simetria \Phi(-1)=1-\Phi(1), obtemos \Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1.
  • Substituindo \Phi(1)\approx 0,84134, P(11,5\le X\le 12,5)=2\cdot 0,84134-1=0,68268.
  • Interpretação: cerca de 68{,}27\% dos cigarros têm dosagem entre 11{,}5 e 12{,}5 mg, consistindo com a regra empírica para \pm1\sigma.

Passo 5

Resolvendo o item (c) passo a passo.
  • Em um maço com n=20 cigarros, considere cada cigarro como um ensaio onde “sucesso” = o cigarro ter dosagem entre 11{,}5 e 12{,}5 mg. Cada ensaio tem probabilidade de sucesso p=P(11,5\le X\le 12,5)=0,68268 (valor do item (b)).
  • O número de cigarros com essa característica é uma variável aleatória binomial Y\sim\text{Bin}(n=20,p=0,68268).
  • O valor esperado (média) dessa binomial é E[Y]=n p=20\cdot 0,68268=13,6536.
  • Interpretação prática: em média espera-se que haja aproximadamente 13{,}65 cigarros desse tipo por maço de 20. Como número de cigarros tem que ser inteiro, isso corresponde, na prática, a cerca de 14 cigarros em média por maço (arredondando).

Resposta

(a) P(X>13,5)=0,00135
(b) P(11,5\le X\le 12,5)=0,68268
(c) E[\text{número}]=13,6536\\ (\text{aprox. }14\\ \text{cigarros})ú

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