O aproveitamento dos alunos em determinada disciplina segue uma distribuição normal com nota média de 7,2 e desviopadrão de 3,0.
que percentual de alunos espera-se possuam nota entre 8,0 e 10,0 ?

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição normal de notas com média e desvio-padrão e pede a percentagem de alunos com nota entre dois valores. Informações fornecidas:
  • Média: \mu=7{,}2.
  • Desvio-padrão: \sigma=3{,}0.
  • Quer-se o percentual de alunos com nota entre 8{,}0 e 10{,}0.

Passo 2

Estratégia (explicação didática curta): para trabalhar com a normal usamos a transformação para a normal padrão (uma variável com média zero e desvio 1). A fórmula do escore padrão (z-score) é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde X é a nota original, \mu é a média da distribuição e \sigma é o desvio-padrão. Depois de calcular os dois z correspondentes aos limites 8{,}0 e 10{,}0, a probabilidade pedida é a diferença das probabilidades acumuladas da normal padrão entre esses dois z:
P(8{,}0<X<10{,}0)=P(z_1<Z<z_2)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1),
onde \Phi(\cdot) é a função de distribuição acumulada da normal padrão (probabilidade de Z ser menor que um dado valor).

Passo 3

Calcular z para X=8{,}0. Aplicando a fórmula:
z_1=\frac{8{,}0-7{,}2}{3{,}0}=\frac{0{,}8}{3{,}0}=0{,}266\overline{6}\approx0{,}2667.
Interpretação: z_1 indica quantos desvios-padrão 8{,}0 está acima da média.

Passo 4

Calcular z para X=10{,}0. Aplicando a fórmula:
z_2=\frac{10{,}0-7{,}2}{3{,}0}=\frac{2{,}8}{3{,}0}=0{,}933\overline{3}\approx0{,}9333.
Interpretação: z_2 indica quantos desvios-padrão 10{,}0 está acima da média.

Passo 5

Obter \Phi(z_1) e \Phi(z_2) a partir da tabela da normal padrão (valores tabulados) ou de uma calculadora. Usando tabela e interpolação linear entre as entradas próximas:
  • Na tabela, \Phi(0{,}26)=0{,}6026 e \Phi(0{,}27)=0{,}6064. Interpolando para z_1\approx0{,}2667:
\Phi(0{,}2667)\approx0{,}6026 + \frac{0{,}2667-0{,}26}{0{,}01}\times(0{,}6064-0{,}6026) \approx0{,}6026 + 0{,}67\times0{,}0038\approx0{,}6052.
  • Na tabela, \Phi(0{,}93)=0{,}8231 e \Phi(0{,}94)=0{,}8264. Interpolando para z_2\approx0{,}9333:
\Phi(0{,}9333)\approx0{,}8231 + \frac{0{,}9333-0{,}93}{0{,}01}\times(0{,}8264-0{,}8231) \approx0{,}8231 + 0{,}33\times0{,}0033\approx0{,}8242.

Passo 6

Calcular a probabilidade entre os dois valores:
P(8{,}0<X<10{,}0)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)\approx0{,}8242-0{,}6052=0{,}2190.
Converter para percentagem:
0{,}2190 = 21{,}90\%.

Passo 7

Interpretação final e dica rápida: espera-se que aproximadamente 21{,}9\% dos alunos tenham nota entre 8{,}0 e 10{,}0. Na prova, faça exatamente assim: transformar para z, ler \Phi na tabela (ou usar calculadora), e subtrair as duas áreas. Força aí — tá entrando!

Resposta

21{,}90\%

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