O aproveitamento dos alunos em determinada disciplina segue uma distribuição normal com nota média de 7,2 e desviopadrão de 3,0.
qual o percentual de alunos que poderão ser reprovados por possuírem grau inferior a 5,0? (a nota mínima para aprovação é 5,0).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição das notas e pede o percentual de alunos com nota inferior a 5,0. Informações fornecidas:
  • média: \mu = 7,2
  • desvio padrão: \sigma = 3,0
  • nota de corte para aprovação: 5,0
Pergunta: qual a porcentagem dos alunos com nota X < 5,0?

Passo 2

Ideia do método (passo a passo didático e sem pular etapas):
  • A variável X (nota) segue uma distribuição normal com média \mu e desvio \sigma. Queremos calcular a probabilidade \mathbb{P}(X<5,0).
  • Para usar tabelas ou valores padrão da normal, transformamos X em uma variável normal padrão Z com média 0 e desvio 1 através do escore-z (standardização).
  • Fórmula de standardização: Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui, X é o valor cuja probabilidade queremos (aqui 5,0), \mu é a média, e \sigma é o desvio padrão.

Passo 3

Calcular o escore-z correspondente a X=5,0:
z=\frac{5,0-7,2}{3,0}=\frac{-2,2}{3,0}=-\tfrac{11}{15}=-0,7333\ldots
Portanto queremos \mathbb{P}(X<5,0)=\mathbb{P}\!\left(Z<-0,7333\ldots\right).

Passo 4

Entendendo a tabela da normal padrão e a simetria:
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z).
  • Pela simetria da normal, \Phi(-a)=1-\Phi(a) para a>0. Então
\mathbb{P}\!\left(Z<-0,7333\ldots\right)=\Phi(-0,7333\ldots)=1-\Phi(0,7333\ldots).
  • Assim basta achar \Phi(0,7333\ldots) numa tabela ou usando aproximação.

Passo 5

Consulta/estimação na tabela da normal padrão (valores típicos):
  • Valor da tabela para z=0,73: \Phi(0,73)=0,7673.
  • Valor da tabela para z=0,74: \Phi(0,74)=0,7704.
    Nosso z é 0,7333\ldots, que está a um terço do caminho entre 0,73 e 0,74. Vamos interpolar linearmente:
\Phi(0,7333\ldots)\approx 0,7673 + \tfrac{1}{3}\,(0,7704-0,7673).
Calcular a diferença e a interpolação:
0,7704-0,7673=0,0031,
\tfrac{1}{3}\cdot 0,0031 \approx 0,001033,
\Phi(0,7333\ldots)\approx 0,7673+0,001033=0,768333\ldots

Passo 6

Agora calcular a probabilidade pedida usando a simetria:
\mathbb{P}(X<5,0)=\Phi(-0,7333\ldots)=1-\Phi(0,7333\ldots)\approx 1-0,768333\ldots=0,231666\ldots

Passo 7

Converter para percentual e arredondar de forma prática para a prova:
0,231666\ldots \approx 23,17\%
Arredondando razoavelmente (duas casas depois da vírgula) obtém-se aproximadamente 23,17\%. Se preferir uma única casa, 23,2\%.

Resposta

23,17\%

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