Uma aproximação para as energias dos estados estacionários de átomos de número atômico
e um único elétron é dada por
Considere o átomo de lítio duplamente ionizado,
, que tem número atômico
.
Se a transição fosse do nível
para o nível
o comprimento de onda do fóton emitido seria maior ou menor do que o do fóton emitido na transição do nível
para o nível
? Explique.
Se a transição fosse do nível
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma fórmula que aproxima as energias dos estados estacionários de átomos com um único elétron, tipo o hidrogênio, mas com número atômico
. No caso, o átomo em questão é o lítio duplamente ionizado,
, que tem
. A pergunta é sobre comparar o comprimento de onda do fóton emitido numa transição do nível
para
com aquela de
para
. Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula dada para calcular as energias dos diferentes níveis e depois relacionar essas energias com os comprimentos de onda dos fótons emitidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia de um elétron num átomo com um elétron é dada pela fórmula:
Aqui,
é a energia no nível
,
é o número atômico, e
é o número quântico principal que representa o nível de energia.
Passo 3
Nosso átomo é o
, que tem
. Vamos calcular a energia para os níveis
,
e
usando a fórmula:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos entender o que acontece quando o elétron faz uma transição de um nível para outro. Quando o elétron desce de um nível mais alto para um mais baixo, ele emite um fóton. A energia desse fóton é igual à diferença de energia entre os dois níveis:
Como o elétron está perdendo energia,
será positiva.
Passo 5
Além disso, a relação entre a energia do fóton e seu comprimento de onda é dada pela equação:
Onde:
-
é a energia do fóton, -
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é o comprimento de onda.
Daí, se a energia do fóton aumenta, o comprimento de onda diminui, e vice-versa.
Passo 6
Vamos calcular a energia dos fótons emitidos nas duas transições:
- Transição de
para :
Como estamos falando de emissão, consideramos o valor absoluto:
- Transição de
para :
Valor absoluto:
Passo 7
Agora, vamos relacionar essas energias com os comprimentos de onda. Sabemos que:
Assim, para a transição de
para
:
E para
para
:
Como o denominador na primeira transição (
) é maior que na segunda (
), o comprimento de onda
será menor que
.
Resposta
O comprimento de onda do fóton emitido na transição do nível
para
é menor do que o do fóton emitido na transição de
para
. Isso ocorre porque a energia liberada na primeira transição é maior, resultando em um fóton com comprimento de onda menor.