Uma aproximação para as energias dos estados estacionários de átomos de número atômico Z e um único elétron é dada por
En approx-Z^2 times 13,6n^2 eV (n inteiro )
Considere o átomo de lítio duplamente ionizado, Li^2+, que tem número atômico Z=3.
Se a transição fosse do nível n=3 para o nível n=1 o comprimento de onda do fóton emitido seria maior ou menor do que o do fóton emitido na transição do nível n=3 para o nível n=2 ? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma fórmula que aproxima as energias dos estados estacionários de átomos com um único elétron, tipo o hidrogênio, mas com número atômico Z. No caso, o átomo em questão é o lítio duplamente ionizado, Li^2+, que tem Z=3. A pergunta é sobre comparar o comprimento de onda do fóton emitido numa transição do nível n=3 para n=1 com aquela de n=3 para n=2. Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula dada para calcular as energias dos diferentes níveis e depois relacionar essas energias com os comprimentos de onda dos fótons emitidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia de um elétron num átomo com um elétron é dada pela fórmula:
En approx -Z^2 times 13,6n^2 , eV
Aqui, En é a energia no nível n, Z é o número atômico, e n é o número quântico principal que representa o nível de energia.

Passo 3

Nosso átomo é o Li^2+, que tem Z=3. Vamos calcular a energia para os níveis n=1, n=2 e n=3 usando a fórmula:
Para n=1:
E1 = -3^2 times 13,61^2 = -9 times 13,6 = -122,4 , eV
Para n=2:
E2 = -3^2 times 13,62^2 = -9 times 13,64 = -9 times 3,4 = -30,6 , eV
Para n=3:
E3 = -3^2 times 13,63^2 = -9 times 13,69 = -9 times 1,511 approx -13,6 , eV

Passo 4

Agora, vamos entender o que acontece quando o elétron faz uma transição de um nível para outro. Quando o elétron desce de um nível mais alto para um mais baixo, ele emite um fóton. A energia desse fóton é igual à diferença de energia entre os dois níveis:
De
Como o elétron está perdendo energia, De será positiva.

Passo 5

Além disso, a relação entre a energia do fóton e seu comprimento de onda é dada pela equação:
E = hclambda
Onde:
  • E é a energia do fóton,
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J·s),
  • c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8 , m/s),
  • lambda é o comprimento de onda.
Daí, se a energia do fóton aumenta, o comprimento de onda diminui, e vice-versa.

Passo 6

Vamos calcular a energia dos fótons emitidos nas duas transições:
  1. Transição de n=3 para n=1:
De
Como estamos falando de emissão, consideramos o valor absoluto:
|De
  1. Transição de n=3 para n=2:
De
Valor absoluto:
|De

Passo 7

Agora, vamos relacionar essas energias com os comprimentos de onda. Sabemos que:
lambda = hcE
Assim, para a transição de n=3 para n=1:
lambda3to1 = hc108,8 , eV
E para n=3 para n=2:
lambda3to2 = hc17,0 , eV
Como o denominador na primeira transição ( 108,8 , eV) é maior que na segunda ( 17,0 , eV), o comprimento de onda lambda3to1 será menor que lambda3to2.

Resposta

O comprimento de onda do fóton emitido na transição do nível n=3 para n=1 é menor do que o do fóton emitido na transição de n=3 para n=2. Isso ocorre porque a energia liberada na primeira transição é maior, resultando em um fóton com comprimento de onda menor.

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