Um fóton com comprimento de onda lambda=88,0 mu m é absorvido por um elétron confinado em um poço infinito. Como resultado, o elétron passa do estado n=1 para n=4. (i) Encontre a largura do poço; (ii) Qual é o comprimento de onda do fóton emitido na transição daquele elétron do estado n=4 para n=2 ?
Resp: (i) L=20 mm (ii) lambda=110 mu m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um fóton com comprimento de onda de lambda=88,0 mu m sendo absorvido por um elétron preso em um poço infinito de potencial. Isso faz com que o elétron passe do estado quântico n=1 para n=4. Vamos precisar usar conceitos de quantização de energia em poços de potencial e a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a largura do poço ( L). Sabemos que a energia dos níveis quânticos em um poço infinito é dada por:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
onde:
  • En é a energia do nível n,
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • m é a massa do elétron,
  • L é a largura do poço.
Quando o elétron absorve o fóton, a energia do fóton ( Efótonó) é igual à diferença de energia entre os estados:
Efóton = E4 - E1 ó

Passo 3

A energia do fóton pode ser relacionada ao seu comprimento de onda pela fórmula:
Efóton = h clambda ó
onde:
  • h é a constante de Planck,
  • c é a velocidade da luz,
  • lambda é o comprimento de onda do fóton.
Vamos calcular Efótonó usando lambda=88,0 mu m:
Efóton = 6,626 times 10^-34 times 3,0 times 10^888,0 times 10^-6 approx 2,26 times 10^-20 , J ó

Passo 4

Agora, calculamos a diferença de energia entre os estados n=4 e n=1:
E4 - E1 = 16 pi^2 hbar^22 m L^2 - pi^2 hbar^22 m L^2 = 15 pi^2 hbar^22 m L^2
Igualando isso à energia do fóton:
15 pi^2 hbar^22 m L^2 = Efóton ó

Passo 5

Isolando L para encontrar a largura do poço:
L = raiz15 pi^2 hbar^22 m Efóton ó
Substituindo os valores:
  • hbar = 1,054 times 10^-34 , J·s
  • m = 9,11 times 10^-31 , kg
  • Efóton = 2,26 times 10^-20 , Jó
Calculando:
L approx 20 , mm

Passo 6

Agora, para a segunda parte, queremos encontrar o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron faz a transição de n=4 para n=2. Primeiro, calculamos a diferença de energia entre esses estados:
E4 - E2 = 16 pi^2 hbar^22 m L^2 - 4 pi^2 hbar^22 m L^2 = 12 pi^2 hbar^22 m L^2 = 6 pi^2 hbar^2m L^2

Passo 7

Agora, usando a relação entre energia e comprimento de onda:
E = h clambda
Isolando lambda:
lambda = h cE
Substituindo E = 6 pi^2 hbar^2m L^2:
lambda = h c m L^26 pi^2 hbar^2
Calculando com L=20 , mm:
lambda approx 110 mu m

Resposta

(i) L=20 mm
(ii) lambda=110 mu m

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