Dois fios longos iguais, de raio
, são paralelos e conduzem correntes iguais em sentidos opostos. A distância entre os eixos centrais dos fios é
14,2 mm. Despreze o fluxo no interior dos fios, mas considere o fluxo na região entre os fios. Mostre que a indutância por unidade de comprimento
do par de fios vale
Calcule este valor a partir dos valores de
e
fornecidos acima.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois fios longos e iguais, cada um com raio
, que estão paralelos e conduzem correntes de mesma magnitude, mas em sentidos opostos. A distância entre os centros desses fios é
. O objetivo é mostrar que a indutância por unidade de comprimento
desse par de fios é dada por:
Depois, precisamos calcular esse valor usando os valores de
e
fornecidos. Para isso, vamos usar conceitos de campo magnético e indutância em circuitos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma corrente elétrica passa por um fio, ela gera um campo magnético ao redor desse fio. A fórmula para o campo magnético
a uma distância
do fio é:
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é a corrente elétrica no fio, -
é a distância do ponto onde estamos calculando o campo ao centro do fio.
Passo 3
Como temos dois fios com correntes iguais em sentidos opostos, o campo magnético gerado por um fio influenciará o outro. A indutância (
) é uma medida de como um circuito resiste a mudanças de corrente devido ao campo magnético que ele gera. Para calcular a indutância por unidade de comprimento, precisamos considerar o fluxo magnético (
) que passa por um dos fios devido ao campo criado pelo outro.
Passo 4
A indutância por unidade de comprimento pode ser relacionada ao fluxo magnético pela fórmula:
Então, nosso objetivo é calcular esse fluxo
gerado por um fio no outro.
Passo 5
Vamos calcular o fluxo magnético
. O fluxo é dado pela integral do campo magnético
sobre a área onde o campo está atuando. Como estamos desprezando o fluxo dentro dos fios, consideramos apenas a região entre eles.
A distância efetiva onde o campo atua entre os fios é
, já que estamos ignorando o raio do fio. Assim, substituímos
por
na fórmula do campo magnético:
Passo 6
Agora, calculamos o fluxo magnético
multiplicando o campo
pela área através da qual esse campo passa. A área relevante aqui é a circunferência ao redor de um dos fios até o outro fio, que tem raio
.
Portanto:
Passo 7
Substituindo o fluxo
na fórmula da indutância por unidade de comprimento:
No entanto, para considerar ambos os fios e a simetria do sistema, ajustamos a equação para:
Resposta
Agora, vamos calcular o valor da indutância por unidade de comprimento usando
e
:
Simplificando:
Calculando o logaritmo:
Então:
Convertendo para unidades mais comuns:
Portanto, a indutância por unidade de comprimento do par de fios é aproximadamente
.