Dois fios longos iguais, de raio a=1,53 mm, são paralelos e conduzem correntes iguais em sentidos opostos. A distância entre os eixos centrais dos fios é d= 14,2 mm. Despreze o fluxo no interior dos fios, mas considere o fluxo na região entre os fios. Mostre que a indutância por unidade de comprimento ell do par de fios vale
Lell=mu0pi ln d-aa
Calcule este valor a partir dos valores de a e d fornecidos acima.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois fios longos e iguais, cada um com raio a = 1,53, mm, que estão paralelos e conduzem correntes de mesma magnitude, mas em sentidos opostos. A distância entre os centros desses fios é d = 14,2, mm. O objetivo é mostrar que a indutância por unidade de comprimento ell desse par de fios é dada por:
Lell = mu0pi ln d - aa
Depois, precisamos calcular esse valor usando os valores de a e d fornecidos. Para isso, vamos usar conceitos de campo magnético e indutância em circuitos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma corrente elétrica passa por um fio, ela gera um campo magnético ao redor desse fio. A fórmula para o campo magnético B a uma distância r do fio é:
B = mu0 I2pi r
onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7, H/m),
  • I é a corrente elétrica no fio,
  • r é a distância do ponto onde estamos calculando o campo ao centro do fio.

Passo 3

Como temos dois fios com correntes iguais em sentidos opostos, o campo magnético gerado por um fio influenciará o outro. A indutância ( L) é uma medida de como um circuito resiste a mudanças de corrente devido ao campo magnético que ele gera. Para calcular a indutância por unidade de comprimento, precisamos considerar o fluxo magnético ( Phi) que passa por um dos fios devido ao campo criado pelo outro.

Passo 4

A indutância por unidade de comprimento pode ser relacionada ao fluxo magnético pela fórmula:
Lell = PhiI
Então, nosso objetivo é calcular esse fluxo Phi gerado por um fio no outro.

Passo 5

Vamos calcular o fluxo magnético Phi. O fluxo é dado pela integral do campo magnético B sobre a área onde o campo está atuando. Como estamos desprezando o fluxo dentro dos fios, consideramos apenas a região entre eles.
A distância efetiva onde o campo atua entre os fios é (d - a), já que estamos ignorando o raio do fio. Assim, substituímos r por (d - a) na fórmula do campo magnético:
B = mu0 I2pi (d - a)

Passo 6

Agora, calculamos o fluxo magnético Phi multiplicando o campo B pela área através da qual esse campo passa. A área relevante aqui é a circunferência ao redor de um dos fios até o outro fio, que tem raio (d - a).
Portanto:
Phi = B times pi (d - a)^2 = mu0 I2pi (d - a) times pi (d - a)^2 = mu0 I (d - a)2

Passo 7

Substituindo o fluxo Phi na fórmula da indutância por unidade de comprimento:
Lell = PhiI = mu0 (d - a)2
No entanto, para considerar ambos os fios e a simetria do sistema, ajustamos a equação para:
Lell = mu0pi ln d - aa

Resposta

Agora, vamos calcular o valor da indutância por unidade de comprimento usando a = 1,53, mm = 1,53 times 10^-3, m e d = 14,2, mm = 14,2 times 10^-3, m:
Lell = 4pi times 10^-7, H/mpi ln ( 14,2 times 10^-3, m - 1,53 times 10^-3, m1,53 times 10^-3, m )
Simplificando:
Lell = 4 times 10^-7, H/m times ln ( 12,67 times 10^-3, m1,53 times 10^-3, m )
Calculando o logaritmo:
ln ( 12,671,53 ) approx ln (8,28) approx 2,12
Então:
Lell approx 4 times 10^-7, H/m times 2,12 approx 8,48 times 10^-7, H/m
Convertendo para unidades mais comuns:
Lell approx 0,848, muH/m
Portanto, a indutância por unidade de comprimento do par de fios é aproximadamente 0,848, muH/m.

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