Questão 3: Os alunos mediram o tempo de queda t da massa para diferentes alturas H, obtendo os resultados:
Altura \mathbf{H}(\mathbf{m}) Tempo de queda \mathbf{t}(\mathbf{s})
0,20 1,04
0,40 1,46
0,60 1,79
0,80 2,07
1,00 2,32

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com medidas de altura e tempos de queda. Dados fornecidos (pego da tabela do enunciado):
\begin{array}{cc} H\;(\mathrm{m}) & t\;(\mathrm{s})\\[4pt] 0,20 & 1,04\\\\ 0,40 & 1,46\\\\ 0,60 & 1,79\\\\ 0,80 & 2,07\\\\ 1,00 & 2,32 \end{array}
Pergunta implícita (assumida como típica para este experimento): encontrar a relação entre H e t a partir dos dados e estimar a aceleração gravitacional g usando os pontos medidos. Vou trabalhar com essa pergunta e justificar por que esse é o objetivo.]

Passo 2

Qual relação esperamos e o que cada símbolo significa. A teoria (queda livre sem resistência) dá a relação
H=\tfrac{1}{2}\,g\,t^{2},
onde:
  • H é a altura percorrida em metros;
  • t é o tempo em segundos;
  • g é a aceleração da gravidade que queremos estimar (unidade \mathrm{m\,s^{-2}}).
    Reescrevendo em forma linear, definimos x=t^{2} e m=g/2, assim
H = m\,x.
Ou seja: se os dados seguem a teoria, um gráfico H versus t^{2} deve ser quase uma reta passando pela origem, e o coeficiente angular dessa reta é m=\tfrac{g}{2}. Nosso objetivo prático: ajustar uma reta pelo método dos mínimos quadrados com passagem pela origem e achar m; daí g=2m.

Passo 3

Derivação do estimador por mínimos quadrados (passagem pela origem). Chamando os dados (x_i,H_i) com x_i=t_i^{2}, o erro (resíduo) para um parâmetro m é r_i=H_i-mx_i. O critério dos mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados dos resíduos:
S(m)=\sum_{i=1}^{n}(H_i-mx_i)^{2}.
Para minimizar, derivamos em relação a m e igualamos a zero:
\frac{dS}{dm}=-2\sum_{i=1}^{n}x_i(H_i-mx_i)=0.
Organizando,
\sum_{i=1}^{n}x_iH_i - m\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}=0.
Logo o estimador de m é
m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iH_i}{\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}}.
Uma vez que m é obtido, estimamos
g=2m.
Obs.: escolhemos ajuste com origem porque a teoria prevê H=0 quando t=0; isso reduz um parâmetro e é o procedimento físico adequado aqui.

Passo 4

Calcular x_i=t_i^{2} para cada medida (usei os valores de t da tabela):
\begin{array}{ll} t_1=1,04\\ \mathrm{s}\Rightarrow x_1=t_1^{2}=1,0816,\\[4pt] t_2=1,46\\ \mathrm{s}\Rightarrow x_2=t_2^{2}=2,1316,\\[4pt] t_3=1,79\\ \mathrm{s}\Rightarrow x_3=t_3^{2}=3,2041,\\[4pt] t_4=2,07\\ \mathrm{s}\Rightarrow x_4=t_4^{2}=4,2849,\\[4pt] t_5=2,32\\ \mathrm{s}\Rightarrow x_5=t_5^{2}=5,3824. \end{array}
Todos os x_i acima foram calculados a partir dos t_i da tabela.]

Passo 5

Calcular as somas necessárias (vou mostrar os produtos e somas passo a passo).
Produtos H_i x_i:
\begin{array}{l} H_1x_1=0,20\cdot 1,0816=0,21632,\\[4pt] H_2x_2=0,40\cdot 2,1316=0,85264,\\[4pt] H_3x_3=0,60\cdot 3,2041=1,92246,\\[4pt] H_4x_4=0,80\cdot 4,2849=3,42792,\\[4pt] H_5x_5=1,00\cdot 5,3824=5,38240. \end{array}
Agora somo:
\sum_{i=1}^{5}H_i x_i=0,21632+0,85264+1,92246+3,42792+5,38240=11,80174.
Quadrados x_i^{2} (ou seja t_i^{4}):
\begin{array}{l} x_1^{2}=1,0816^{2}=1,16985856,\\[4pt] x_2^{2}=2,1316^{2}=4,54371856,\\[4pt] x_3^{2}=3,2041^{2}=10,26625481,\\[4pt] x_4^{2}=4,2849^{2}=18,36036801,\\[4pt] x_5^{2}=5,3824^{2}=28,97022976. \end{array}
Somando:
\sum_{i=1}^{5}x_i^{2}=1,16985856+4,54371856+10,26625481+18,36036801+28,97022976=63,3104297.]

Passo 6

Aplicar a fórmula do Passo 3 para obter m:
m=\frac{\sum_{i=1}^{5}H_i x_i}{\sum_{i=1}^{5}x_i^{2}} =\frac{11,80174}{63,3104297}\approx 0,18641\\ \mathrm{(unidade\\ m\,s^{-2})}.
Agora obtenho g usando g=2m:
g=2\cdot 0,18641\approx 0,37282\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 7

Verificação rápida: calcular g ponto a ponto por g_i=2H_i/t_i^{2} (isto é, usar diretamente a fórmula teórica em cada par) para ver consistência:
\begin{array}{l} g_1=\dfrac{2\cdot 0,20}{1,0816}\approx 0,3697,\\[6pt] g_2=\dfrac{2\cdot 0,40}{2,1316}\approx 0,3754,\\[6pt] g_3=\dfrac{2\cdot 0,60}{3,2041}\approx 0,3746,\\[6pt] g_4=\dfrac{2\cdot 0,80}{4,2849}\approx 0,3735,\\[6pt] g_5=\dfrac{2\cdot 1,00}{5,3824}\approx 0,3717. \end{array}
Esses valores individuais estão próximos entre si e próximos de 0,3728, o que confirma que o ajuste por mínimos quadrados com origem fez sentido e os dados são coerentes.]

Resposta

g\approx 0,37282\\ \mathrm{m\,s^{-2}}

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