Questão 3: Os alunos mediram o tempo de queda
da massa para diferentes alturas
, obtendo os resultados:
Altura
Tempo de queda
0,20
1,04
0,40
1,46
0,60
1,79
0,80
2,07
1,00
2,32
| Altura
|
Tempo de queda
|
| 0,20 | 1,04 |
| 0,40 | 1,46 |
| 0,60 | 1,79 |
| 0,80 | 2,07 |
| 1,00 | 2,32 |
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela com medidas de altura e tempos de queda. Dados fornecidos (pego da tabela do enunciado):
Pergunta implícita (assumida como típica para este experimento): encontrar a relação entre
e
a partir dos dados e estimar a aceleração gravitacional
usando os pontos medidos. Vou trabalhar com essa pergunta e justificar por que esse é o objetivo.]
Passo 2
Qual relação esperamos e o que cada símbolo significa. A teoria (queda livre sem resistência) dá a relação
onde:
-
é a altura percorrida em metros; -
é o tempo em segundos; -
é a aceleração da gravidade que queremos estimar (unidade ).
Reescrevendo em forma linear, definimose , assim
Ou seja: se os dados seguem a teoria, um gráfico
versus
deve ser quase uma reta passando pela origem, e o coeficiente angular dessa reta é
. Nosso objetivo prático: ajustar uma reta pelo método dos mínimos quadrados com passagem pela origem e achar
; daí
.
Passo 3
Derivação do estimador por mínimos quadrados (passagem pela origem). Chamando os dados
com
, o erro (resíduo) para um parâmetro
é
. O critério dos mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados dos resíduos:
Para minimizar, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Organizando,
Logo o estimador de
é
Uma vez que
é obtido, estimamos
Obs.: escolhemos ajuste com origem porque a teoria prevê
quando
; isso reduz um parâmetro e é o procedimento físico adequado aqui.
Passo 4
Calcular
para cada medida (usei os valores de
da tabela):
Todos os
acima foram calculados a partir dos
da tabela.]
Passo 5
Calcular as somas necessárias (vou mostrar os produtos e somas passo a passo).
Produtos
:
Agora somo:
Quadrados
(ou seja
):
Somando:
Passo 6
Aplicar a fórmula do Passo 3 para obter
:
Agora obtenho
usando
:
Passo 7
Verificação rápida: calcular
ponto a ponto por
(isto é, usar diretamente a fórmula teórica em cada par) para ver consistência:
Esses valores individuais estão próximos entre si e próximos de
, o que confirma que o ajuste por mínimos quadrados com origem fez sentido e os dados são coerentes.]