A aproximação pela extremidade direita da área líquida com sinal entre y=f(x) e o intervalo [a, b] é dada por
sumk=1^n 6 k+1n^2
Encontre o valor exato dessa área líquida com sinal.

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de Riemann pela extremidade direita
sumk=1^n6k+1n^2
que aproxima a área líquida com sinal de y=f(x) em [a,b]. Para obter o valor exato dessa área, basta computar o limite dessa soma quando ntoinfty.

Passo 2

Separemos a soma em duas parcelas:
sumk=1^n6k+1n^2 =6n^2sumk=1^nk ;+;1n^2sumk=1^n1
Aqui usamos as propriedades de soma: sum(6k) =6sum k e sum1 =n.

Passo 3

Sabendo que
sumk=1^nk=n(n+1)2,
temos
6n^2cdotn(n+1)2 =3,n+1n =3+3n,
e
1n^2sumk=1^n1 =1n^2cdot n =1n
Logo a soma total fica
sumk=1^n6k+1n^2 =3+3n+1n =3+4n

Passo 4

Para obter a área exata, tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyl(3+4nr) =3

Resposta

3

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