Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
5. F(x, y, z)=e^x sen y i+e^x cos y j+y z^2 k, S é a superfície da caixa delimitada pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de F(x,y,z)=e^xsin y,i+e^xcos y,j+y z^2,k através da superfície S da caixa dada por 0<= x<=1, 0<= y<=1, 0<= z<=2. O conteúdo é o Teorema da Divergência, que relaciona fluxo de campo vetorial com integral tripla do divergente.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência temos que
integral duplaSFcdot dS=integral triplaVnablacdotF,dV,
onde V é o volume da caixa. Agora vamos calcular nablacdotF.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partialpartial x(e^xsin y)=e^xsin y, partialpartial y(e^xcos y)=-e^xsin y, partialpartial z(yz^2)=2yz
Somando,
nablacdotF=e^xsin y - e^xsin y + 2yz = 2yz

Passo 4

Montamos a integral tripla sobre V:
integral triplaV2yz,dV = integralx=0^1integraly=0^1integralz=0^22yz,dz,dy,dx

Passo 5

Agora integramos passo a passo: primeiro em z:
integral0^22yz,dz = 2ycdot z^22|0^2 = 2ycdot2 = 4y
Depois em y:
integral0^14y,dy = 4cdot y^22|0^1 = 2
E finalmente em x, que só multiplica por 1:
integral0^12,dx = 2

Passo 6

Logo o fluxo de F através de S é 2.

Resposta

2

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