1. Aproximação de Funções: A série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!} converge para \sin x para todo x. Use esta série para aproximar \sin (0.5) com um erro menor que 0,0001 .

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sin(0.5) usando a série de Maclaurin
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
e garantir que o erro da aproximação seja menor que 0,0001. Vamos usar o Teorema da Série Alternante para controlar o resto.

Passo 2

O Teorema da Série Alternante diz que, se \{a_n\} é uma sequência positiva, monótona decrescente e tendendo a zero, então ao truncar \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n após n=N, o resto R_N satisfaz
\bigl|R_N\bigr|\le a_{N+1}.
No nosso caso a_n=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, logo
\bigl|R_N(0.5)\bigr|\le \frac{0.5^{2(N+1)+1}}{(2(N+1)+1)!} =\frac{0.5^{2N+3}}{(2N+3)!}.

Passo 3

Queremos \frac{0.5^{2N+3}}{(2N+3)!}<0,0001. Calculando termo a termo:
  • Para N=0: \frac{0.5^3}{3!}\approx0,0208 (ainda maior).
  • Para N=1: \frac{0.5^5}{5!}\approx0,00026 (ainda maior).
  • Para N=2: \frac{0.5^7}{7!}\approx1{,}55\times10^{-6}<0,0001.
    Logo basta truncar a série em n=2.

Passo 4

O polinômio de grau 5 (soma até n=2) é
S_2 = \sum_{n=0}^{2}(-1)^n\frac{0.5^{2n+1}}{(2n+1)!} =0.5 \;-\;\frac{0.5^3}{6}\;+\;\frac{0.5^5}{120}.
Calculando numericamente:
0.5 - 0.02083333 + 0.00026042 \approx 0.47942708.

Resposta

\sin(0.5)\approx0,47942708 com erro menor que 0,0001.

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