Determine se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n^{2}}

Passo 1

Temos a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n^{2}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular convergência absoluta e critério da razão.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, ou seja, a série das magnitudes
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-3)^{n}}{n^{2}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n^{2}}.
Aplicando o critério da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{3^{\,n+1}/(n+1)^{2}}{3^{n}/n^{2}} =3\;\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =3>1.
Como o limite é maior que 1, a série das magnitudes diverge, logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Para haver qualquer tipo de convergência é necessário que o termo geral tenda a zero. Aqui
\lim_{n\to\infty}\frac{(-3)^{n}}{n^{2}}
não existe finitamente, pois \bigl|(-3)^{n}/n^{2}\bigr|\to\infty. Portanto o termo geral não tende a zero, o que implica que a série original diverge.

Resposta

A série diverge (nem absolutamente convergente nem condicionalmente convergente).

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