(Aproximação Numérica) Uma sequência de aproximação numérica gera valores
que se aproximam da solução exata
buscada em determinados problemas. Quando a sequência converge, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
conforme
aumenta. A convergência dessas sequências depende da escolha inicial
e das características da função
, como sua derivada
.
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função
. Dado um valor inicial
, as aproximações subsequentes
são obtidas pela fórmula:
onde
é a derivada de
avaliada em
.
Considere a função
, cuja raiz exata é
. O método de Newton-Raphson será usado para encontrar essa raiz a partir de um valor inicial
.
Utilize o método de Newton-Raphson para calcular as três primeiras aproximações
e
.
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função
onde
Considere a função
Utilize o método de Newton-Raphson para calcular as três primeiras aproximações
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson na função
, cuja raiz exata é
, partindo de
. Vamos gerar as aproximações
até obter
,
e
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada
e substituímos em Newton–Raphson:
Passo 3
Para
,
. Então
Passo 4
Agora, usando
:
Passo 5
Finalmente, com
: