(Aproximação Numérica) Uma sequência de aproximação numérica gera valores xn que se aproximam da solução exata x^* buscada em determinados problemas. Quando a sequência converge, os valores de xn ficam cada vez mais próximos de x^* conforme n aumenta. A convergência dessas sequências depende da escolha inicial x0 e das características da função f(x), como sua derivada f^prime(x).
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função f(x). Dado um valor inicial x0, as aproximações subsequentes x1, x2, x3, ldots são obtidas pela fórmula:
xn+1=xn-f(xn)f^prime(xn)
onde f^prime(xn) é a derivada de f(x) avaliada em xn.
Considere a função f(x)=x^2-2, cuja raiz exata é raiz2. O método de Newton-Raphson será usado para encontrar essa raiz a partir de um valor inicial x0=1.5.
Utilize o método de Newton-Raphson para calcular as três primeiras aproximações x1, x2 e x3.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson na função f(x)=x^2-2, cuja raiz exata é x^*=raiz2, partindo de x0=1,5. Vamos gerar as aproximações
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
até obter x1, x2 e x3.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada
f'(x)=2x
e substituímos em Newton–Raphson:
xn+1 = xn-xn^2-22xn = xn+2xn2

Passo 3

Para n=0, x0=1,5. Então
x1 = 1,5 + 21,52 = 1,5 + 1,33333332 approx 1,4166667

Passo 4

Agora, usando x1approx 1,4166667:
x2 = 1,4166667 + 21,41666672 = 1,4166667 + 1,41176472 approx 1,4142157

Passo 5

Finalmente, com x2approx 1,4142157:
x3 = 1,4142157 + 21,41421572 = 1,4142157 + 1,41421362 approx 1,4142146

Resposta

x1approx 1,4166667
x2approx 1,4142157
x3approx 1,4142146

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