Encontre aplicações de convergência de sequências em áreas correlatas ao seu curso e descreva-as. Em seguida, elabore uma questão prática envolvendo esta aplicação, bem como sua solução explicando todos os elementos de cálculo e de engenharia que aparecerem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar aplicações de convergência de sequências em áreas de engenharia, descrever uma delas e criar uma questão prática envolvendo essa aplicação, com solução detalhada. O conteúdo necessário envolve teoria de sequência, convergência de séries geométricas e conceitos de estabilidade em sistemas discretos.

Passo 2

Uma aplicação típica em Processamento Digital de Sinais (DSP) é a estabilidade de filtros IIR (Infinite Impulse Response). A resposta ao impulso de um filtro IIR de primeira ordem é
h[n]=a^n,
que converge para zero se lvert arvert<1. Essa convergência garante que o sistema seja estável, ou seja, produz saída limitada para entrada limitada.

Passo 3

Formulamos a questão prática a seguir:
Considere o filtro IIR de primeira ordem definido pela equação a diferenças
y[n]=0,7,y[n-1]+x[n],
com condição inicial y[-1]=0.
(a) Determine a resposta ao impulso h[n] para n>=0.
(b) Verifique a convergência de h[n] e explique sua implicação para a estabilidade do sistema.
(c) Calcule a soma
sumn=0^infty h[n]
(d) Para entrada degrau unitário x[n]=u[n], obtenha
limntoinftyy[n]

Passo 4

Resolução da letra (a):
Para x[n]=de<a[n] e y[-1]=0 temos h[0]=1 e, para n>=1, pela recorrência
h[n]=0,7,h[n-1]
Logo
h[n]=0,7^n

Passo 5

Resolução da letra (b):
A sequência h[n]=0,7^n é geométrica com razão r=0,7. Como lvert rrvert<1,
limntoinfty0,7^n=0
Fisicamente, isso significa que o efeito de impulsos passados decai exponencialmente, garantindo saída limitada para entrada limitada (estabilidade BIBO).

Passo 6

Resolução da letra (c):
A soma de uma série geométrica de termo inicial 1 e razão 0,7 é
sumn=0^infty0,7^n =11-0,7 =10,3 approx3,3333

Passo 7

Resolução da letra (d):
Para x[n]=u[n], temos
y[n]=sumk=0^n h[k] Longrightarrow limntoinftyy[n] =sumk=0^infty h[k] =3,3333
Esse valor é o ganho DC do filtro, ou seja, a saída em regime permanente para um degrau unitário.

Passo 8

Interpretação de engenharia:
A convergência de h[n] a zero mostra que o filtro “esquece” impulsos antigos, evitando acumulações infinitas e garantindo estabilidade. A soma total da resposta ao impulso dá o ganho DC, fundamental no projeto de filtros para ajustar níveis em correntes contínuas ou baixas frequências.

Resposta

Questão prática:
Considere o filtro IIR de primeira ordem
y[n]=0,7,y[n-1]+x[n],
com y[-1]=0.
(a) Determine h[n].
(b) Verifique convergência e estabilidade.
(c) Calcule sumn=0^infty h[n].
(d) Para x[n]=u[n], ache limntoinftyy[n].
Solução:
(a) h[n]=0,7^n.
(b) Como lvert0,7rvert<1, limntoinfty0,7^n=0, logo o sistema é estável.
(c) sumn=0^infty0,7^n=1/(1-0,7)=3,3333.
(d) limntoinftyy[n]=3,3333.

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