Encontre aplicações de convergência de sequências em áreas correlatas ao seu curso e descreva-as. Em seguida, elabore uma questão prática envolvendo esta aplicação, bem como sua solução explicando todos os elementos de cálculo e de engenharia que aparecerem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar aplicações de convergência de sequências em áreas de engenharia, descrever uma delas e criar uma questão prática envolvendo essa aplicação, com solução detalhada. O conteúdo necessário envolve teoria de sequência, convergência de séries geométricas e conceitos de estabilidade em sistemas discretos.
Passo 2
Uma aplicação típica em Processamento Digital de Sinais (DSP) é a estabilidade de filtros IIR (Infinite Impulse Response). A resposta ao impulso de um filtro IIR de primeira ordem é
que converge para zero se
. Essa convergência garante que o sistema seja estável, ou seja, produz saída limitada para entrada limitada.
Passo 3
Formulamos a questão prática a seguir:
Considere o filtro IIR de primeira ordem definido pela equação a diferenças
com condição inicial
.
(a) Determine a resposta ao impulso
para
.
(b) Verifique a convergência de e explique sua implicação para a estabilidade do sistema.
(c) Calcule a soma
(b) Verifique a convergência de
(c) Calcule a soma
(d) Para entrada degrau unitário
, obtenha
Passo 4
Resolução da letra (a):
Para e
temos
e, para
, pela recorrência
Para
Logo
Passo 5
Resolução da letra (b):
A sequência é geométrica com razão
. Como
,
A sequência
Fisicamente, isso significa que o efeito de impulsos passados decai exponencialmente, garantindo saída limitada para entrada limitada (estabilidade BIBO).
Passo 6
Resolução da letra (c):
A soma de uma série geométrica de termo inicial e razão
é
A soma de uma série geométrica de termo inicial
Passo 7
Resolução da letra (d):
Para , temos
Para
Esse valor é o ganho DC do filtro, ou seja, a saída em regime permanente para um degrau unitário.
Passo 8
Interpretação de engenharia:
A convergência de a zero mostra que o filtro “esquece” impulsos antigos, evitando acumulações infinitas e garantindo estabilidade. A soma total da resposta ao impulso dá o ganho DC, fundamental no projeto de filtros para ajustar níveis em correntes contínuas ou baixas frequências.
A convergência de
Resposta
Questão prática:
Considere o filtro IIR de primeira ordem
Considere o filtro IIR de primeira ordem
com
.
(a) Determine
.
(b) Verifique convergência e estabilidade.
(c) Calcule .
(d) Para , ache
.
(b) Verifique convergência e estabilidade.
(c) Calcule
(d) Para
Solução:
(a) .
(b) Como ,
, logo o sistema é estável.
(c) .
(d) .
(a)
(b) Como
(c)
(d)