Considere a sequência
a1=1, an+1=11+an, n>0
Liste os dez primeiros termos desta sequência;

Passo 1

O enunciado define a sequência an por
a1=1, an+1=11+an(n>=1)
Aqui o conteúdo é recorrência de primeira ordem em sequências. Vamos calcular os primeiros termos e reconhecer um padrão.

Passo 2

Calculemos manualmente os termos iniciais:
a1=1,
a2=11+a1=11+1=12,
a3=11+a2=11+tfrac12=23,
a4=11+a3=11+tfrac23=35,
a5=11+a4=11+tfrac35=58

Passo 3

Observe que os termos ficam
1,;12,;23,;35,;58,;dots
e reconhecemos que numerador e denominador são termos consecutivos da sequência de Fibonacci F1=1, F2=1, Fn+2=Fn+1+Fn. De fato, por indução mostra-se
an=Fn-1Fn

Passo 4

Usando an=Fn-1Fn e a lista de Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,dots
obtemos os próximos termos:
a6=813,; a7=1321,; a8=2134,; a9=3455,; a10=5589

Resposta

Os dez primeiros termos são:
1,;12,;23,;35,;58,;813,;1321,;2134,;3455,;5589

Exercícios relacionados