(Difusão e transferência de calor) Problemas de transferência de calor em materiais sólidos podem ser modelados usando a equação da condução de calor, que descreve como a temperatura
varia ao longo do tempo
e do espaço
. Uma solução comum para esta equação envolve a decomposição da função de temperatura em uma série de Fourier.
Considere uma barra metálica de comprimento
, cujas extremidades são mantidas a uma temperatura constante de zero graus
. A condição inicial é que, no tempo
, a temperatura da barra é dada por
, onde
é uma função conhecida. A equação de condução de calor unidimensional que governa o problema é:
onde
é a difusividade térmica do material. A solução geral da equação de condução de calor pode ser expressa como uma série de Fourier na forma:
onde
são coeficientes determinados pela condição inicial
.
Dada a condição inicial
, encontre a solução
para a distribuição de temperatura ao longo do tempo.
Considere uma barra metálica de comprimento
onde
onde
Dada a condição inicial
Passo 1
O enunciado trata da equação unidimensional de condução de calor
numa barra de comprimento
com condições de contorno
e condição inicial
A solução geral se escreve como série de Fourier
onde os coeficientes
são obtidos pela condição inicial.
Passo 2
Para achar cada
usamos a ortogonalidade das senóides em
, que dá a fórmula
Passo 3
No nosso caso
, então
Pela ortogonalidade, esse integral só é diferente de zero quando
. Para
:
Passo 4
Para todo
vale
logo
quando
.
Passo 5
Substituindo na série geral, sobra apenas o termo
: