(Difusão e transferência de calor) Problemas de transferência de calor em materiais sólidos podem ser modelados usando a equação da condução de calor, que descreve como a temperatura T(x, t) varia ao longo do tempo t e do espaço x. Uma solução comum para esta equação envolve a decomposição da função de temperatura em uma série de Fourier.
Considere uma barra metálica de comprimento L, cujas extremidades são mantidas a uma temperatura constante de zero graus (T(0, t)=T(L, t)=0). A condição inicial é que, no tempo t=0, a temperatura da barra é dada por T(x, 0)=f(x), onde f(x) é uma função conhecida. A equação de condução de calor unidimensional que governa o problema é:
partial Tpartial t=alpha partial^2 Tpartial x^2
onde alpha é a difusividade térmica do material. A solução geral da equação de condução de calor pode ser expressa como uma série de Fourier na forma:
T(x, t)=sumn=1^infty Bn e^-alpha(n piL)^2 t sin (n pi xL)
onde Bn são coeficientes determinados pela condição inicial T(x, 0)=f(x).
Dada a condição inicial f(x)=100 sin (pi xL), encontre a solução T(x, t) para a distribuição de temperatura ao longo do tempo.

Passo 1

O enunciado trata da equação unidimensional de condução de calor
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
numa barra de comprimento L com condições de contorno T(0,t)=T(L,t)=0 e condição inicial
T(x,0)=f(x)=100sin!l(pi xLr)
A solução geral se escreve como série de Fourier
T(x,t)=sumn=1^inftyBn,e^-alphal(npiLr)^2t,sin!l(npi xLr),
onde os coeficientes Bn são obtidos pela condição inicial.

Passo 2

Para achar cada Bn usamos a ortogonalidade das senóides em [0,L], que dá a fórmula
Bn = 2Lintegral0^Lf(x),sin!l(npi xLr),dx

Passo 3

No nosso caso f(x)=100sin!l(pi xLr), então
Bn = 2Lintegral0^L100,sin!l(pi xLr),sin!l(npi xLr),dx
Pela ortogonalidade, esse integral só é diferente de zero quando n=1. Para n=1:
B1 = 2L,100integral0^Lsin^2!l(pi xLr),dx = 200LcdotL2 =100

Passo 4

Para todo nneq1 vale
integral0^Lsin!l(tfracpi xLr),sin!l(tfracnpi xLr),dx = 0,
logo Bn=0 quando nneq1.

Passo 5

Substituindo na série geral, sobra apenas o termo n=1:
T(x,t) = B1,e^-alphal(piLr)^2t,sin!l(pi xLr) =100,e^-alphal(piLr)^2t,sin!l(pi xLr)

Resposta

T(x,t)=100,e^-alphal(piLr)^2t,sin!l(pi xLr)

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