(Aproximação Numérica) Uma sequência de aproximação numérica gera valores
que se aproximam da solução exata
buscada em determinados problemas. Quando a sequência converge, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
conforme
aumenta. A convergência dessas sequências depende da escolha inicial
e das características da função
, como sua derivada
.
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função
. Dado um valor inicial
, as aproximações subsequentes
são obtidas pela fórmula:
onde
é a derivada de
avaliada em
.
Considere a função
, cuja raiz exata é
. O método de Newton-Raphson será usado para encontrar essa raiz a partir de um valor inicial
.
Explique como a sequência
se aproxima da raiz exata
.
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função
onde
Considere a função
Explique como a sequência
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson na função
com chute inicial
, de modo a obter uma sequência
que convirja para a raiz exata
. O conteúdo envolvido é o método iterativo de Newton, que requer o cálculo de
e de sua derivada
.
Passo 2
O método de Newton–Raphson gera a iteração
A ideia é aproximar
por sua reta tangente em
e usar a interseção dessa reta com o eixo
como próxima aproximação.
Passo 3
Para
temos
Substituindo na fórmula de Newton,
Esse esquema é conhecido como média aritmético–harmônica e é especialmente simples de calcular.
Passo 4
Vamos calcular algumas iterações para ver a convergência:
Note como cada
fica bem mais próximo de
.
Passo 5
A razão dessa rapidez é a convergência quadrática: uma vez perto da raiz, o erro em
é aproximadamente o quadrado do erro em
. Em outras palavras, se
, então
para alguma constante
. Isso faz com que o número de dígitos corretos dobre a cada iteração.
Resposta
A sequência
dada por
com
, converge rapidamente para
devido à convergência quadrática do método de Newton–Raphson. Nas primeiras iterações já obtemos
aproximando-se cada vez mais de
.