(Aproximação Numérica) Uma sequência de aproximação numérica gera valores xn que se aproximam da solução exata x^* buscada em determinados problemas. Quando a sequência converge, os valores de xn ficam cada vez mais próximos de x^* conforme n aumenta. A convergência dessas sequências depende da escolha inicial x0 e das características da função f(x), como sua derivada f^prime(x).
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função f(x). Dado um valor inicial x0, as aproximações subsequentes x1, x2, x3, ldots são obtidas pela fórmula:
xn+1=xn-f(xn)f^prime(xn)
onde f^prime(xn) é a derivada de f(x) avaliada em xn.
Considere a função f(x)=x^2-2, cuja raiz exata é raiz2. O método de Newton-Raphson será usado para encontrar essa raiz a partir de um valor inicial x0=1.5.
Explique como a sequência xn se aproxima da raiz exata raiz2.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson na função
f(x)=x^2-2
com chute inicial x0=1,5, de modo a obter uma sequência xn que convirja para a raiz exata x^*=raiz2. O conteúdo envolvido é o método iterativo de Newton, que requer o cálculo de f(x) e de sua derivada f^prime(x).

Passo 2

O método de Newton–Raphson gera a iteração
xn+1 = xn - f(xn)f^prime(xn)
A ideia é aproximar f por sua reta tangente em xn e usar a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação.

Passo 3

Para f(x)=x^2-2 temos
f^prime(x)=2x
Substituindo na fórmula de Newton,
xn+1 = xn - xn^2-22,xn = xn+2xn2
Esse esquema é conhecido como média aritmético–harmônica e é especialmente simples de calcular.

Passo 4

Vamos calcular algumas iterações para ver a convergência:
x1 &= 1,5 + 21,52 = 1,5 + 1,33332 approx 1,4167, x2 &= 1,4167 + 21,41672 approx 1,4167 + 1,41182 =1,4142, x3 &= 1,4142 + 21,41422 approx 1,4142 + 1,41422 =1,4142136
Note como cada xn fica bem mais próximo de raiz2approx1,4142136.

Passo 5

A razão dessa rapidez é a convergência quadrática: uma vez perto da raiz, o erro em xn+1 é aproximadamente o quadrado do erro em xn. Em outras palavras, se varepsilonn=xn-raiz2, então
|varepsilonn+1|approx C,|varepsilonn|^2
para alguma constante C. Isso faz com que o número de dígitos corretos dobre a cada iteração.

Resposta

A sequência xn dada por
xn+1 = xn+2xn2,
com x0=1,5, converge rapidamente para raiz2 devido à convergência quadrática do método de Newton–Raphson. Nas primeiras iterações já obtemos
x1approx1,4167, x2approx1,4142, x3approx1,4142136,
aproximando-se cada vez mais de raiz2.

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