Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série:
Aqui, estamos lidando com séries de potências. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão e entender alguns conceitos sobre convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Observe que , então a série fica:
Isso mostra que a série é uma série de potências em .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência . O Teste da Razão utiliza o limite:
L = limn to infty |x^3| cdot (nn+1)^3/2 = |x^3| cdot limn to infty (nn+1)^3/2 = |x^3| cdot 1 = |x^3|
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x^3| < 1 Rightarrow |x| < 1
Então, o raio de convergência é R = 1.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência. Sabemos que R = 1, então o intervalo é inicialmente -1 < x < 1. Precisamos verificar se a série converge nos pontos x = -1 e x = 1.