Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=1^+infty(-1)^n x^3 nn^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série:
sumn=1^+infty(-1)^n x^3 nn^3 / 2
Aqui, estamos lidando com séries de potências. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão e entender alguns conceitos sobre convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Observe que x^3n = (x^3)^n, então a série fica:
sumn=1^+infty(-1)^n (x^3)^nn^3 / 2
Isso mostra que a série é uma série de potências em x^3.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência R. O Teste da Razão utiliza o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde an = (-1)^n (x^3)^nn^3 / 2.

Passo 4

Calculando an+1 e a razão an+1an:
an+1 = (-1)^n+1 (x^3)^n+1(n+1)^3 / 2
an+1an = (-1)^n+1 (x^3)^n+1(n+1)^3 / 2(-1)^n (x^3)^nn^3 / 2 = -x^3 cdot (nn+1)^3/2
Tomando o valor absoluto:
|an+1an| = |x^3| cdot (nn+1)^3/2

Passo 5

Agora, calculamos o limite L:
L = limn to infty |x^3| cdot (nn+1)^3/2 = |x^3| cdot limn to infty (nn+1)^3/2 = |x^3| cdot 1 = |x^3|
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x^3| < 1 Rightarrow |x| < 1
Então, o raio de convergência é R = 1.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência. Sabemos que R = 1, então o intervalo é inicialmente -1 < x < 1. Precisamos verificar se a série converge nos pontos x = -1 e x = 1.

Passo 7

Para x = 1, a série fica:
sumn=1^+infty(-1)^n 1^3nn^3 / 2 = sumn=1^+infty (-1)^nn^3/2
Essa é uma série alternada e, como 1n^3/2 é decrescente e tende a zero, pela Alternância de Séries, ela converge.

Passo 8

Para x = -1, a série fica:
sumn=1^+infty(-1)^n (-1)^3nn^3 / 2 = sumn=1^+infty(-1)^n (-1)^3nn^3 / 2 = sumn=1^+infty (-1)^4nn^3 / 2 = sumn=1^+infty 1n^3/2
Essa é uma série p com p = 3/2 > 1, então converge.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1, 1].

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