Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=0^+infty 4^n+1 x^2 nn+3

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty 4^n+1x^2nn+3
Isso é um estudo de série de potências em x, e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Seja
an = 4^n+1x^2nn+3
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty|an+1an|
Temos
an+1 = 4^n+2x^2(n+1)(n+4), an = 4^n+1x^2n(n+3),
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|an+1an| = |4^n+2x^2n+2n+4cdotn+34^n+1x^2n| = 4,x^2cdotn+3n+4
Tomando limite,
L = limntoinfty4,x^2cdotn+3n+4 =4x^2

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é,
4x^2<1 Longrightarrow |x|<12
Dessa forma, o raio de convergência é
R=12

Passo 4

Falta examinar os extremos x=pm12. Substituindo em sum an:
x=pm12 ;Longrightarrow; 4^n+1l(pmtfrac12r)^2n =4^n+114^n =4,
e a série fica
sumn=0^infty 4n+3 =4sumn=0^infty1n+3,
que diverge como harmônica. Portanto diverge em x=pm12.

Resposta

Raio de convergência: R=tfrac12.
Intervalo de convergência: l(-tfrac12,tfrac12r).

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