(Aproximação Numérica) Uma sequência de aproximação numérica gera valores
que se aproximam da solução exata
buscada em determinados problemas. Quando a sequência converge, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
conforme
aumenta. A convergência dessas sequências depende da escolha inicial
e das características da função
, como sua derivada
.
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função
. Dado um valor inicial
, as aproximações subsequentes
são obtidas pela fórmula:
onde
é a derivada de
avaliada em
.
Considere a função
, cuja raiz exata é
. O método de Newton-Raphson será usado para encontrar essa raiz a partir de um valor inicial
.
O método está convergindo rapidamente para a solução? Qual seria a importância de uma convergência rápida em um problema de otimização em engenharia?
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função
onde
Considere a função
O método está convergindo rapidamente para a solução? Qual seria a importância de uma convergência rápida em um problema de otimização em engenharia?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
cuja raiz exata é
, e pede para usar o método de Newton–Raphson com ponto inicial
. Vamos verificar numericamente as iterações e analisar a rapidez da convergência.
Passo 2
A fórmula de Newton–Raphson é
com
.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora comparamos os erros em relação a
:
erro em :
erro em
erro em
:
Vemos que o erro em
é da ordem do quadrado do erro em
, caracterizando convergência quadrática — ou seja, a cada iteração a precisão dobra em número de casas significativas.
Passo 4
Convergência rápida significa atingir alta precisão com poucas iterações. Em problemas de otimização em engenharia, isso é crucial para:
reduzir tempo de cálculo quando cada avaliação de
e
é cara;
economizar recursos computacionais em simulações complexas;
obter soluções precisas sem risco de divergência ou de ficar “preso” em iterações intermediárias.
Resposta
O método converge muito rapidamente (convergência quadrática), chegando a precisão de
já na segunda iteração. Em engenharia, essa rapidez é valiosa pois diminui significativamente o número de avaliações de funções custosas, reduz o tempo de simulação e garante soluções mais precisas com menor uso de recursos computacionais.