(Aproximação Numérica) Uma sequência de aproximação numérica gera valores xn que se aproximam da solução exata x^* buscada em determinados problemas. Quando a sequência converge, os valores de xn ficam cada vez mais próximos de x^* conforme n aumenta. A convergência dessas sequências depende da escolha inicial x0 e das características da função f(x), como sua derivada f^prime(x).
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função f(x). Dado um valor inicial x0, as aproximações subsequentes x1, x2, x3, ldots são obtidas pela fórmula:
xn+1=xn-f(xn)f^prime(xn)
onde f^prime(xn) é a derivada de f(x) avaliada em xn.
Considere a função f(x)=x^2-2, cuja raiz exata é raiz2. O método de Newton-Raphson será usado para encontrar essa raiz a partir de um valor inicial x0=1.5.
O método está convergindo rapidamente para a solução? Qual seria a importância de uma convergência rápida em um problema de otimização em engenharia?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^2-2
cuja raiz exata é x^*=raiz2, e pede para usar o método de Newton–Raphson com ponto inicial x0=1,5. Vamos verificar numericamente as iterações e analisar a rapidez da convergência.

Passo 2

A fórmula de Newton–Raphson é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
com f'(x)=2x.
Para n=0:
x1 =1,5 ;-;(1,5)^2-22cdot1,5 =1,5-0,253 approx1,4166667
Para n=1:
x2 =1,4166667 ;-;(1,4166667)^2-22cdot1,4166667 approx1,4142157
Para n=2:
x3 =1,4142157 ;-;(1,4142157)^2-22cdot1,4142157 approx1,41421356

Passo 3

Agora comparamos os erros em relação a raiz2approx1,41421356:
erro em n=1:
|x1-raiz2|approx|1,4166667-1,4142136|approx0,0024531,
erro em n=2:
|x2-raiz2|approx|1,4142157-1,4142136|approx0,0000021
Vemos que o erro em n=2 é da ordem do quadrado do erro em n=1, caracterizando convergência quadrática — ou seja, a cada iteração a precisão dobra em número de casas significativas.

Passo 4

Convergência rápida significa atingir alta precisão com poucas iterações. Em problemas de otimização em engenharia, isso é crucial para:
bul<=t reduzir tempo de cálculo quando cada avaliação de f e f' é cara;
bul<=t economizar recursos computacionais em simulações complexas;
bul<=t obter soluções precisas sem risco de divergência ou de ficar “preso” em iterações intermediárias.

Resposta

O método converge muito rapidamente (convergência quadrática), chegando a precisão de 10^-6 já na segunda iteração. Em engenharia, essa rapidez é valiosa pois diminui significativamente o número de avaliações de funções custosas, reduz o tempo de simulação e garante soluções mais precisas com menor uso de recursos computacionais.

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