Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de u=0 na superficie (y=0) até a velocidade de corrente livre, U, na borda da camada limite (y=\delta). A equação do perfil é u / U= 2(\pi y / \delta)-(y / \delta)^{2}, em que \delta=c x^{1 / 2}, sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é
\frac{u}{U}=\frac{\delta}{x}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}-\frac{1}{3}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{3}\right]
a) Determine o local do máximo valor da razão v / U.
b) Determine a razão em que \delta=5 \mathrm{~mm} ex =0,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá o perfil parabólico da componente x da velocidade numa camada limite laminar incompressível,
\frac{u}{U}=2\frac{y}{\delta}-\Bigl(\frac{y}{\delta}\Bigr)^{2},
com \delta=c\,x^{1/2}, e pede:
a) derivar a componente v usando a equação de continuidade e encontrar o valor máximo local de v/U;
b) avaliar esse máximo para \delta=5\text{ mm} e x=0,5\text{ m}.

Passo 2

Usamos a equação de continuidade bidimensional para fluido incompressível,
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Isolando \partial v/\partial y e integrando de 0 a y (com v(0)=0),
\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x} \quad\Longrightarrow\quad v(y)=-\int_{0}^{y}\frac{\partial u}{\partial x}\,dy.

Passo 3

Como \displaystyle u/U=2\xi-\xi^{2} em que \xi=y/\delta e \delta=c\,x^{1/2}, temos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(2\xi-\xi^{2}\Bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(2\frac{y}{\delta}-\frac{y^{2}}{\delta^{2}}\Bigr) =-\frac{1}{2}\frac{\delta}{x}\Bigl(2\xi-\xi^{2}\Bigr)'
com (2\xi-\xi^{2})' =2-2\xi derivado em \xi. Integrando em y (isto é, em \xi) gera
\frac{v}{U} =\frac{\delta}{x}\int_{0}^{y/\delta}\!(\xi-\xi^{2})\,d\xi =\frac{\delta}{x}\Bigl[\tfrac12\xi^{2}-\tfrac13\xi^{3}\Bigr]_{0}^{y/\delta} =\frac{\delta}{x}\Bigl[\tfrac12\Bigl(\frac{y}{\delta}\Bigr)^{2}-\tfrac13\Bigl(\frac{y}{\delta}\Bigr)^{3}\Bigr],
que é a expressão solicitada.

Passo 4

Para achar o máximo local de v/U em função de y, derivamos em \xi=y/\delta:
\frac{d}{d\xi}\Bigl(\tfrac12\xi^{2}-\tfrac13\xi^{3}\Bigr) =\xi-\xi^{2} \quad\Rightarrow\quad \xi(1-\xi)=0.
Descartamos \xi=0 (parede), o máximo interno ocorre em \xi=1/2. Substituindo,
\frac{v}{U}\Bigl|_{\max} =\frac{\delta}{x}\Bigl[\tfrac12\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-\tfrac13\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}\Bigr] =\frac{\delta}{x}\Bigl[\frac{1}{8}-\frac{1}{24}\Bigr] =\frac{\delta}{x}\cdot\frac{1}{12} =\frac{\delta}{12\,x}.

Passo 5

Para \delta=5\text{ mm}=5\times10^{-3}\text{ m} e x=0,5\text{ m},
\frac{v}{U}\Bigl|_{\max} =\frac{5\times10^{-3}}{12\cdot0,5} =\frac{5\times10^{-3}}{6} =8,33\times10^{-4}.

Resposta

a) O valor máximo local de \displaystyle v/U ocorre em y/\delta=1/2 e vale \displaystyle v/U_{\max}=\delta/(12\,x).
b) Para \delta=5\text{ mm} e x=0,5\text{ m}, \displaystyle v/U_{\max}=8{,}33\times10^{-4}.

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