A variação da temperatura na atmosfera padrão é representada por uma série de segmentos lineares. Assim, é possível integrar a equação da pressão para obter a variação correspondente. Por exemplo, na troposfera, a distribuição de temperatura é dada por \mathrm{T}=\mathrm{Ta}-\beta \mathrm{z}, em que Ta e pa são a temperatura e pressão ao nível do mar. Assim, encontre uma expressão para a pressão que seja representada por essa variação na temperatura.

Passo 1

O enunciado fala da troposfera, onde a temperatura varia linearmente com a altitude z segundo
T(z)=T_a-\beta\,z,
sendo T_a e p_a a temperatura e a pressão ao nível do mar, e \beta a razão de decréscimo de temperatura. Queremos achar p(z). Para isso precisamos usar a equação da estática dos fluidos (hidrostática) e a equação de estado do gás ideal.

Passo 2

A equação da estática dos fluidos diz que a variação de pressão com a altitude é
\frac{dp}{dz}=-\rho\,g,
onde \rho é a densidade do ar e g a aceleração da gravidade.

Passo 3

Pela equação de estado do gás ideal (para ar seco) temos
p=\rho\,R\,T \quad\Longrightarrow\quad \rho=\frac{p}{R\,T}\,,
sendo R a constante específica do ar.

Passo 4

Substituindo \rho em \frac{dp}{dz}=-\rho\,g obtemos
\frac{dp}{dz}=-\frac{p}{R\,T}\,g \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{p}\,\frac{dp}{dz}=-\frac{g}{R\,T(z)}\,.

Passo 5

Como T(z)=T_a-\beta\,z, escrevemos
\frac{1}{p}\,\frac{dp}{dz} =-\frac{g}{R\,(T_a-\beta\,z)}.
Agora integramos de z=0 (onde p=p_a) até uma altitude genérica z (onde p=p(z)):
\int_{p_a}^{p(z)}\frac{1}{p}\,dp =-\frac{g}{R}\int_{0}^{z}\frac{1}{T_a-\beta\,z'}\,dz'.

Passo 6

Calculemos o lado direito:
\int_{0}^{z}\frac{dz'}{T_a-\beta\,z'} =\biggl[-\frac{1}{\beta}\ln\bigl(T_a-\beta\,z'\bigr)\biggr]_{0}^{z} =-\frac{1}{\beta}\ln\!\frac{T_a-\beta\,z}{T_a}.

Passo 7

O lado esquerdo dá
\int_{p_a}^{p(z)}\frac{1}{p}\,dp =\ln\frac{p(z)}{p_a}.
Igualando ambos os lados:
\ln\frac{p(z)}{p_a} =-\frac{g}{R}\Bigl(-\frac{1}{\beta}\Bigr)\ln\!\frac{T_a-\beta\,z}{T_a} =\frac{g}{R\,\beta}\ln\!\frac{T_a-\beta\,z}{T_a}.

Passo 8

Elevando exponencial:
\frac{p(z)}{p_a} =\biggl(\frac{T_a-\beta\,z}{T_a}\biggr)^{\frac{g}{R\,\beta}} \quad\Longrightarrow\quad p(z)=p_a\, \biggl(1-\frac{\beta\,z}{T_a}\biggr)^{\frac{g}{R\,\beta}}.

Resposta

\boxed{p(z)=p_a\, \Bigl(1-\tfrac{\beta\,z}{T_a}\Bigr)^{\tfrac{g}{R\,\beta}}.}

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