A variação da temperatura na atmosfera padrão é representada por uma série de segmentos lineares. Assim, é possível integrar a equação da pressão para obter a variação correspondente. Por exemplo, na troposfera, a distribuição de temperatura é dada por
, em que Ta e pa são a temperatura e pressão ao nível do mar. Assim, encontre uma expressão para a pressão que seja representada por essa variação na temperatura.
Passo 1
O enunciado fala da troposfera, onde a temperatura varia linearmente com a altitude
segundo
sendo
e
a temperatura e a pressão ao nível do mar, e
a razão de decréscimo de temperatura. Queremos achar
. Para isso precisamos usar a equação da estática dos fluidos (hidrostática) e a equação de estado do gás ideal.
Passo 2
A equação da estática dos fluidos diz que a variação de pressão com a altitude é
onde
é a densidade do ar e
a aceleração da gravidade.
Passo 3
Pela equação de estado do gás ideal (para ar seco) temos
sendo
a constante específica do ar.
Passo 4
Substituindo
em
obtemos
Passo 5
Como
, escrevemos
Agora integramos de
(onde
) até uma altitude genérica
(onde
):
Passo 6
Calculemos o lado direito:
Passo 7
O lado esquerdo dá
Igualando ambos os lados:
Passo 8
Elevando exponencial: