Encontre uma representação em séries de potências para a função e determine o intervalo de convergência e o raio de convergência de
f(x)=\frac{x}{2 x^{2}+10}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências (Maclaurin) da função
f(x)=\frac{x}{2x^{2}+10}
e que a gente identifique o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso vamos usar a ideia de série geométrica
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n},\quad |u|<1.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever f(x) numa forma que lembre \tfrac{1}{1+u}. Note que
2x^{2}+10 = 10\Bigl(1+\frac{x^{2}}{5}\Bigr),
portanto
f(x) =\frac{x}{2x^{2}+10} =\frac{x}{10}\,\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{5}}.

Passo 3

Agora aplicamos a série geométrica com u=\tfrac{x^{2}}{5}. Como
\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{5}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{x^{2}}{5}\Bigr)^{n}, \quad\Bigl|\frac{x^{2}}{5}\Bigr|<1,
vem
f(x) =\frac{x}{10}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{5^{n}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{10\cdot5^{n}}.

Passo 4

A condição de convergência da série geométrica foi \bigl|\tfrac{x^{2}}{5}\bigr|<1, ou seja
|x|<\sqrt{5}.
Isso nos dá o raio de convergência
R=\sqrt{5},
e o intervalo de convergência aberto
(-\sqrt{5},\sqrt{5}).

Resposta

A série de potências é
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{10\cdot5^{n}},
o raio de convergência é R=\sqrt{5} e o intervalo de convergência é (-\,\sqrt{5},\sqrt{5}).

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