Calcule as integrais abaixo e utilize as substituicers apropreadas:
\int \frac{x^{2}}{\left(4-x^{2}\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}}{\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{3/2}}\,dx.
Percebemos que aparece \sqrt{4 - x^{2}}, então uma boa ideia é usar substituição trigonométrica do tipo x = 2\sin t.

Passo 2

Fazendo
x = 2\sin t, \quad dx = 2\cos t\,dt,
temos
4 - x^{2} = 4 - 4\sin^{2}t = 4\cos^{2}t,
\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{3/2} = (4\cos^{2}t)^{3/2} = 8\cos^{3}t,
x^{2} = 4\sin^{2}t.
Substituindo na integral original:
\int \frac{x^{2}}{(4 - x^{2})^{3/2}}\,dx = \int \frac{4\sin^{2}t}{8\cos^{3}t}\,\bigl(2\cos t\,dt\bigr) = \int \frac{8\sin^{2}t\,\cos t}{8\cos^{3}t}\,dt = \int \tan^{2}t\,dt.

Passo 3

Usamos a identidade \tan^{2}t = \operatorname{sec}^{2}t - 1, então
\int \tan^{2}t\,dt = \int \bigl(\operatorname{sec}^{2}t - 1\bigr)\,dt = \int \operatorname{sec}^{2}t\,dt \;-\; \int 1\,dt = \tan t - t + C.

Passo 4

Agora voltamos a x. De x = 2\sin t segue
\sin t = \frac{x}{2}, \quad \cos t = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2},
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\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{x/2}{\sqrt{4 - x^{2}}/2} = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}},
e
t = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Substituindo em \tan t - t + C, obtemos
\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \;-\; \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

A antiderivada é
\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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