Sabe-se que a equação
admite uma raiz no intervalo ( 0,1 ), determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e informa que existe uma raiz no intervalo
. A tarefa é aproximar essa raiz usando interpolação quadrática. Dado adicional (provavelmente resultado esperado):
.
Informações relevantes que vamos usar:
.
Queremos uma aproximação da raiz de em
usando um polinômio interpolador quadrático
construído em três nós.
Informações relevantes que vamos usar:
Queremos uma aproximação da raiz de
Passo 2
Escolhemos três nós simples que cobrem o intervalo
:
. Vou calcular os valores de
nesses nós (mostrando os cálculos passo a passo):
Cálculo em
:
Cálculo em
: usei
,
Cálculo em
: usei
,
Resumo dos pontos usados para interpolar:
Passo 3
Vou construir o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2:
A fórmula de Lagrange diz
A fórmula de Lagrange diz
onde cada polinômio base
é
Para os nossos nós obtemos explicitamente (faço a álgebra para cada
):
Passo 4
Agora monto
somando
:
Vou expandir cada termo para obter os coeficientes do polinômio quadrático. Primeiro expando as bases:
Multiplico agora pelos
e somo:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
termo independente:
Portanto obtemos (arredondando os coeficientes exibidos):
Passo 5
Para encontrar a raiz aproximada usamos
. É uma equação quadrática
Multiplico por
para usar a fórmula usual:
A fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) dá as raízes
onde aqui
,
,
. Calculo discriminante:
Logo as duas raízes são
Como buscamos a raiz em
, escolhemos
.