Sabe-se que a equação e^{-x}-x^{2} / 2=0 admite uma raiz no intervalo ( 0,1 ), determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática.
P_{2}(0) \approx 0,9008

Passo 1

O enunciado dá a equação \,e^{-x}-x^{2}/2=0\, e informa que existe uma raiz no intervalo (0,1). A tarefa é aproximar essa raiz usando interpolação quadrática. Dado adicional (provavelmente resultado esperado): P_{2}(0)\approx0,9008.
Informações relevantes que vamos usar:
\;f(x)=e^{-x}-x^{2}/2.
Queremos uma aproximação da raiz de f em (0,1) usando um polinômio interpolador quadrático P_{2}(x) construído em três nós.

Passo 2

Escolhemos três nós simples que cobrem o intervalo (0,1): \,x_{0}=0,\;x_{1}=0{,}5,\;x_{2}=1. Vou calcular os valores de f nesses nós (mostrando os cálculos passo a passo):
f(x)=e^{-x}-\frac{x^{2}}{2}.
Cálculo em x_{0}=0:
f(0)=e^{0}-\frac{0^{2}}{2}=1.
Cálculo em x_{1}=0{,}5: usei e^{-0{,}5}\approx0{,}60653066,
f(0{,}5)=e^{-0{,}5}-\frac{(0{,}5)^{2}}{2}\approx0{,}60653066-0{,}125=0{,}48153066.
Cálculo em x_{2}=1: usei e^{-1}\approx0{,}36787944,
f(1)=e^{-1}-\frac{1^{2}}{2}\approx0{,}36787944-0{,}5=-0{,}13212056.
Resumo dos pontos usados para interpolar:
(x_{0},y_{0})=(0,1),\quad (x_{1},y_{1})=(0{,}5,\,0{,}48153066),\quad (x_{2},y_{2})=(1,\,-0{,}13212056).

Passo 3

Vou construir o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2:
A fórmula de Lagrange diz
P_{2}(x)=\sum_{j=0}^{2} y_{j} \, \ell_{j}(x),
onde cada polinômio base \ell_{j}(x) é
\ell_{j}(x)=\prod_{\substack{m=0\m\ne j}}^{2}\frac{x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}.
Para os nossos nós obtemos explicitamente (faço a álgebra para cada \ell_{j}):
\ell_{0}(x)=\frac{(x-0{,}5)(x-1)}{(0-0{,}5)(0-1)}=\frac{(x-0{,}5)(x-1)}{0{,}5}=2(x-0{,}5)(x-1),
\ell_{1}(x)=\frac{(x-0)(x-1)}{(0{,}5-0)(0{,}5-1)}=\frac{x(x-1)}{0{,}5(-0{,}5)}=-4x(x-1),
\ell_{2}(x)=\frac{(x-0)(x-0{,}5)}{(1-0)(1-0{,}5)}=\frac{x(x-0{,}5)}{1\cdot0{,}5}=2x(x-0{,}5).

Passo 4

Agora monto P_{2}(x) somando y_{j}\ell_{j}(x):
P_{2}(x)=1\cdot 2(x-0{,}5)(x-1)+0{,}48153066\cdot\big(-4x(x-1)\big)+(-0{,}13212056)\cdot 2x(x-0{,}5).
Vou expandir cada termo para obter os coeficientes do polinômio quadrático. Primeiro expando as bases:
2(x-0{,}5)(x-1)=2\big(x^{2}-1{,}5x+0{,}5\big)=2x^{2}-3x+1,
-4x(x-1)=-4(x^{2}-x)=-4x^{2}+4x,
2x(x-0{,}5)=2(x^{2}-0{,}5x)=2x^{2}-x.
Multiplico agora pelos y_{j} e somo:
coeficiente de x^{2}:
2 + 0{,}48153066\cdot(-4) + (-0{,}13212056)\cdot 2 =2 -1{,}92612264 -0{,}26424112 = -0{,}1903637565\ldots
coeficiente de x:
-3 + 0{,}48153066\cdot 4 + (-0{,}13212056)\cdot(-1) =-3 +1{,}92612264 +0{,}13212056 = -0{,}9417568023\ldots
termo independente:
1 + 0 + 0 =1.
Portanto obtemos (arredondando os coeficientes exibidos):
P_{2}(x)\approx -0{,}1903637565\,x^{2}-0{,}9417568023\,x+1.

Passo 5

Para encontrar a raiz aproximada usamos P_{2}(x)=0. É uma equação quadrática
-0{,}1903637565\,x^{2}-0{,}9417568023\,x+1=0.
Multiplico por -1 para usar a fórmula usual:
0{,}1903637565\,x^{2}+0{,}9417568023\,x-1=0.
A fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) dá as raízes
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde aqui a=0{,}1903637565, b=0{,}9417568023, c=-1. Calculo discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=b^{2}-4\cdot a\cdot(-1)=b^{2}+4a\approx1{,}64836086,
\sqrt{\Delta}\approx1{,}2846996.
Logo as duas raízes são
x_{1}\approx\frac{-0{,}9417568023+1{,}2846996}{2\cdot0{,}1903637565}\approx0{,}9008\text{ (no intervalo }(0,1)\text{)},
x_{2}\approx\frac{-0{,}9417568023-1{,}2846996}{2\cdot0{,}1903637565}\approx-5{,}85\text{ (fora do intervalo).}
Como buscamos a raiz em (0,1), escolhemos x\approx0{,}9008.

Resposta

0,9008

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