Aproxime a função f(x)=x sen(x) por um polinômio de Taylor de grau n=4 em a=0.
Assinale a alternativa correta:
x sen(x) approx x^2+x^46

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa aproximar a função $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ usando um polinômio de Taylor de grau 4 em torno de $ a = 0 $. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor, que nos ajuda a representar funções complicadas por polinômios mais simples. Vamos precisar conhecer os termos da série de Taylor da função seno e depois multiplicar por $ x $ para obter a aproximação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função $ \sin(x) $ em torno de $ a = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin). A série é infinita, mas como queremos um polinômio de grau 4, vamos pegar os primeiros termos que contribuem até esse grau:
sin(x)
Como vamos multiplicar isso por $ x $, só precisamos considerar até $ x^3 $ na série de $ \sin(x) $, porque $ x \cdot x^3 = x^4 $, que é o grau máximo que queremos.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a série de $ \sin(x) $ pelos primeiros termos por $ x $:
sin(x)
Como queremos apenas até o grau 4, descartamos os termos de grau superior:
x

Passo 4

Então, a aproximação de $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ por um polinômio de Taylor de grau 4 em $ a = 0 $ é:
f(x) = x cdot sin(x)
Isso significa que, para valores de $ x $ próximos a 0, $ x \cdot \sin(x) $ pode ser bastante bem estimado por esse polinômio.

Resposta

A aproximação correta é $ x \cdot \sin(x) \approx x^{2} - \frac{x^{4}}{6} $.

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