Aproxime as integrais:
\int_{1}^{2} \cos x d x usando a regra do trapézio composta \operatorname{com} N=4.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede-se aproximar a integral \displaystyle \int_{1}^{2} \cos x \, dx usando a regra do trapézio composta com N=4.
  • Dados fornecidos:
    • Intervalo de integração: [a,b]=[1,2].
    • Número de subintervalos para a regra do trapézio composta: N=4.

Passo 2

O que é a regra do trapézio composta e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Ideia: dividir o intervalo [a,b] em N subintervalos de largura igual h, aproximar a função por retas entre pontos consecutivos e somar as áreas dos trapézios resultantes.
  • Definições:
    • h=\dfrac{b-a}{N} é o comprimento de cada subintervalo.
    • Nós (pontos) são x_0=a,\; x_1=a+h,\; x_2=a+2h,\;\dots,\; x_N=b.
    • As alturas dos trapézios são f(x_i) onde aqui f(x)=\cos x.
  • Fórmula da regra do trapézio composta:
T_N = h\left(\tfrac{1}{2}f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{N-1})+\tfrac{1}{2}f(x_N)\right).
  • Explicando cada parte: somam-se todos os valores de f nos nós, dando peso 1/2 às extremidades porque cada extremidade pertence a apenas um trapézio, enquanto os pontos internos pertencem a dois trapézios.

Passo 3

Calcular h e os nós x_i:
  • a=1,\; b=2,\; N=4.
  • Calcular h:
h=\dfrac{b-a}{N}=\dfrac{2-1}{4}=\dfrac{1}{4}=0,25.
  • Nós:
    • x_0 = 1.
    • x_1 = 1 + h = 1 + 0,25 = 1,25.
    • x_2 = 1 + 2h = 1,50.
    • x_3 = 1 + 3h = 1,75.
    • x_4 = 2.

Passo 4

Avaliar f(x)=\cos x nos nós (valores aproximados; estes números são retirados avaliando \cos em cada ponto):
  • f(x_0)=\cos 1 \approx 0,5403023059.
  • f(x_1)=\cos 1{,}25 \approx 0,3153223624.
  • f(x_2)=\cos 1{,}50 \approx 0,0707372017.
  • f(x_3)=\cos 1{,}75 \approx -0,1782466210.
  • f(x_4)=\cos 2 \approx -0,4161468365.
(Observação: todos os valores acima são aproximações numéricas de \cos x nos respectivos x.)

Passo 5

Aplicar a fórmula do trapézio composta passo a passo:
  • Primeiro calcular a soma ponderada interna:
S=\tfrac{1}{2}f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+\tfrac{1}{2}f(x_4).
  • Substituindo os valores aproximados:
\begin{aligned} \tfrac{1}{2}f(x_0)&=\tfrac{1}{2}\cdot 0,5403023059 \approx 0,27015115295,\\[4pt] \tfrac{1}{2}f(x_4)&=\tfrac{1}{2}\cdot(-0,4161468365) \approx -0,20807341825,\\[4pt] f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)&\approx 0,3153223624 + 0,0707372017 + (-0,1782466210)\\\ &\approx 0,2078129431. \end{aligned}
  • Agora S:
S \approx 0,27015115295 + 0,2078129431 - 0,20807341825 \approx 0,2698906778.
  • Finalmente, multiplicar por h=0,25:
T_4 = h\cdot S \approx 0,25\cdot 0,2698906778 \approx 0,06747266945.]

Passo 6

Arredondamento e interpretação final do valor aproximado:
  • A aproximação pela regra do trapézio composta com N=4 é
T_4 \approx 0,0674726695.
  • Esse é o valor que se obtém somando as áreas dos 4 trapézios que aproximam a curva \cos x em [1,2].

Passo 7

Estimativa do erro (para eu te dar confiança sobre quão boa é essa aproximação):
  • Fórmula do limite de erro para a regra do trapézio composta: existe \xi\in[a,b] tal que
E_T = \int_a^b f(x)\,dx - T_N = -\dfrac{(b-a)}{12}h^2 f''(\xi).
  • Portanto, um limite de erro absoluto é
|E_T| \le \dfrac{(b-a)}{12} h^2 \max_{x\in[a,b]} |f''(x)|.
  • Aqui f(x)=\cos x implica f''(x)=-\cos x, logo |f''(x)|=|\cos x|\le 1 em todo [1,2].
  • Substituindo b-a=1 e h=0,25:
|E_T| \le \dfrac{1}{12}\cdot (0,25)^2 = \dfrac{0,0625}{12} \approx 0,0052083333.
  • Conclusão: o erro absoluto está no máximo em torno de 0,00521, e nossa aproximação 0,06747 está dentro dessa margem do valor exato.

Passo 8

(Para aprendizado extra) Comparação com o valor exato usando primitiva:
  • A integral exata pode ser escrita usando a primitiva de \cos x:
\int_{1}^{2}\cos x\,dx = \sin x\Big|_{1}^{2} = \sin 2 - \sin 1.
  • Numericamente,
    • \sin 2 \approx 0,9092974268,
    • \sin 1 \approx 0,8414709848,
    • portanto \sin 2 - \sin 1 \approx 0,0678264420.
  • Erro real da aproximação encontrada:
\text{erro real} \approx 0,0678264420 - 0,0674726695 \approx 0,0003537725,
o que é bem menor que o limite grosseiro 0,00521 estimado pela fórmula de erro (isso é normal: o limite usa uma cota grosseira para \max |f''|).

Resposta

0,0674726695

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