Aproxime as integrais:
\int_{1}^{2} \ln (x) d x usando a regra de Simpson composta com 2 N=4.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral definida que queremos aproximar e a regra numérica a ser usada. Dados e pedido:
  • Integral a aproximar: \displaystyle \int_{1}^{2} \ln(x)\,dx.
  • Método: regra de Simpson composta com 2N=4 (ou seja, usar 4 subintervalos igualmente espaçados).
    O que se pede: calcular a aproximação numérica dessa integral com a regra de Simpson composta e apresentar o valor final.

Passo 2

Apresentar a fórmula da regra de Simpson composta e explicar cada termo.
  • Seja [a,b] o intervalo de integração e suponha 2N subintervalos uniformes (a regra exige número par de subintervalos). Denotando h=\dfrac{b-a}{2N} e x_i=a+i h para i=0,1,\dots,2N, a fórmula composta de Simpson é:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0) + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{2N-1} f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{2N-2} f(x_i) + f(x_{2N})\right].í
O que cada símbolo significa:
  • a e b: extremos do intervalo de integração.
  • 2N: número total de subintervalos (par).
  • h: largura de cada subintervalo.
  • x_i: pontos de amostragem (nós).
  • f(x_i): valores da função nos nós.
    A ideia rápida: a cada par de subintervalos substitui-se f por um polinômio quadrático interpolador, e a soma dessas áreas dá a aproximação final.

Passo 3

Aplicar os dados do enunciado à fórmula: calcular N, h e os nós x_i.
  • Temos 2N=4, logo N=2.
  • Intervalo [a,b]=[1,2]. Portanto
h=\frac{b-a}{2N}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}=0{,}25.
  • Nós:
x_0=1,\quad x_1=1+h=1{,}25,\quad x_2=1+2h=1{,}5,\quad x_3=1+3h=1{,}75,\quad x_4=1+4h=2.

Passo 4

Calcular os valores f(x_i)=\ln(x_i) em cada nó (usar aproximações decimais usuais para \ln):
  • f(x_0)=\ln(1)=0.
  • f(x_1)=\ln(1{,}25)=\ln\!\left(\tfrac{5}{4}\right)\approx 0{,}2231435513.
  • f(x_2)=\ln(1{,}5)=\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\approx 0{,}4054651081.
  • f(x_3)=\ln(1{,}75)=\ln\!\left(\tfrac{7}{4}\right)\approx 0{,}5596157879.
  • f(x_4)=\ln(2)\approx 0{,}6931471806.
(Observação prática: esses valores são as aproximações decimais padrão de \ln que se costuma usar em cálculo numérico; em prova, é aceitável usar a calculadora para obter esses valores ou tabelas.)

Passo 5

Substituir na fórmula de Simpson composta e calcular passo a passo.
  • Primeiro identifique as somas necessárias:
\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{3} f(x_i)=f(x_1)+f(x_3)í
\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{2} f(x_i)=f(x_2).
  • Calcule cada termo numérico:
f(x_1)+f(x_3)\approx 0{,}2231435513 + 0{,}5596157879 = 0{,}7827593392.
4\big(f(x_1)+f(x_3)\big)\approx 4\times 0{,}7827593392 = 3{,}1310373568.
2f(x_2)\approx 2\times 0{,}4054651081 = 0{,}8109302162.
  • Agora monte a soma total que fica dentro dos colchetes:
S = f(x_0) + 4\sum_{\text{ímpar}} f(x_i) + 2\sum_{\text{par}} f(x_i) + f(x_4)í
S \approx 0 + 3{,}1310373568 + 0{,}8109302162 + 0{,}6931471806 = 4{,}6351147536.
  • Finalmente multiplique por h/3. Como h=\tfrac{1}{4}, temos \dfrac{h}{3}=\dfrac{1}{12}:
\int_{1}^{2} \ln(x)\,dx \approx \frac{1}{12}\,S \approx \frac{1}{12}\times 4{,}6351147536 \approx 0{,}3862595628.

Passo 6

Verificação (opcional e útil para ver a precisão): calcular o valor exato da integral por métodos analíticos e comparar o erro.
  • Integral exata: integrar por partes \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C. Logo
\int_{1}^{2} \ln(x)\,dx = \big[x\ln x - x\big]_{1}^{2} = (2\ln 2 -2) - (1\cdot 0 -1) = 2\ln 2 -1.
  • Avaliando numericamente 2\ln 2 -1 \approx 2\times 0{,}6931471806 -1 = 0{,}3862943612.
  • Erro da aproximação de Simpson:
\text{erro} \approx 0{,}3862595628 - 0{,}3862943612 \approx -0{,}0000347984,
ou seja, erro de aproximadamente -3{,}48\times 10^{-5}. Muito pequeno: Simpson com 4 subintervalos já ficou bastante preciso aqui.

Resposta

0{,}3862595628

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