Escreva o polinômio interpolador
para os pontos abaixo, onde
e
(com 5 cadas decimais)
0.2
0.4
0.6
0.96078
0.85214
0.69767
(a) Na forma de Lagrange
(b) Na forma de Lagrange para pontos igualmente espaçados
(c) Na forma de Newton
(d) Na forma de Newton-Gregory
(e) use a forma de Newton para aproximar o valor
. Econtre o erro absoluto aproximado usando o valor exato para 5 casas: 0.92459 .
|
|
0.2 | 0.4 | 0.6 |
|
|
0.96078 | 0.85214 | 0.69767 |
(b) Na forma de Lagrange para pontos igualmente espaçados
(c) Na forma de Newton
(d) Na forma de Newton-Gregory
(e) use a forma de Newton para aproximar o valor
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
-
Pontos fornecidos (pegos do enunciado):
-
, . -
, . -
, .
-
-
Pedido:
(a) Escreverna forma de Lagrange.
(b) Escreverna forma de Lagrange adaptada para pontos igualmente espaçados.
(c) Escreverna forma de Newton (divided differences).
(d) Escreverna forma de Newton–Gregory (fórmula para nós igualmente espaçados).
(e) Usar a forma de Newton para aproximare calcular o erro absoluto usando o valor exato .
Passo 2
Conceito e fórmula de Lagrange (mini-aula rápida e amigável):
- A interpolaçao de Lagrange constrói um polinômio do grau
como combinação linear das bases de Lagrange . Cada satisfaz (ou seja, vale em e nos outros pontos). - Fórmula geral para três pontos:
E então
Agora aplicamos com os nossos números (faço passo a passo das contas).
Passo 3
Cálculo explícito das
e da forma de Lagrange (a):
- Calculo dos denominadores:
- Portanto as bases são
- Para facilitar a leitura, expandindo cada
:
- Agora combinando com os
:
- Multiplicando e somando os coeficientes (contas mostradas): obtemos a forma polinomial padrão
- Como o enunciado pediu com 5 casas decimais, apresento os coeficientes arredondados a 5 casas decimais:
(Isto responde o item (a): a forma de Lagrange está dada por
com as
acima; e a forma polinomial expandida é a mostrada.)
Passo 4
Forma de Lagrange para pontos igualmente espaçados (b) — explicação e construção:
- Quando os pontos são igualmente espaçados com passo
, é prático usar a variável adimensional
porque para os nossos pontos com
e
temos:
- A vantagem: as bases de Lagrange ficam simples para os nós
. Calculando com :
- Portanto a forma de Lagrange expressa em
(com ) é
onde
e
são os valores dados.
- Substituindo os
conhecidos:
Esta é a resposta do item (b) — forma de Lagrange adaptada a nós igualmente espaçados (mais compacta e simétrica).
Passo 5
Forma de Newton (c) — explicação do método e cálculo das diferenças divididas:
- Ideia rápida: escrever
onde
são os valores e
são diferenças divididas.
- Calculo das diferenças divididas com os nossos dados:
Primeiras diferenças divididas:
Segunda diferença dividida:
- Logo a forma de Newton é
- Se preferir com coeficientes arredondados a 5 casas (pedida no enunciado), pode-se escrever a segunda diferença como
. Assim a forma com 5 casas fica
Observação: essa forma é algebraicamente equivalente à forma expandida do Passo 3 (mesmos coeficientes).
Passo 6
Forma de Newton–Gregory (d) — para nós igualmente espaçados (mini-aula e cálculo):
- Newton–Gregory usa diferenças progressivas
e a variável com . A fórmula (grau 2, forward) é
onde
e
.
- Calculemos as diferenças:
- Note a relação entre
e as diferenças divididas:
o que garante a consistência entre Newton e Newton–Gregory.
- Escrevendo a fórmula com
:
Isso responde o item (d).
Passo 7
Aproximação de
usando a forma de Newton e cálculo do erro (e) — passo a passo numérico e interpretação:
- Usarei a forma de Newton encontrada no Passo 5 com as diferenças calculadas com precisão obtida a partir dos
dados:
- Substituindo
:
- Calculemos os termos:
- Soma final:
- Valor exato (fornecido):
. - Erro absoluto aproximado:
Interpretação rápida: o polinômio quadrático aproxima bem
perto dos nós, e aqui o erro é da ordem
.
Resposta
(a)
(b) Com nós igualmente espaçados (
,
):
(c) Forma de Newton (diferenças divididas):
(d) Forma Newton–Gregory (forward, com
):
(e) Aproximação e erro: