Escreva o polinômio interpolador P_{2}(x) para os pontos abaixo, onde y_{i}=f\left(x_{i}\right) e f(x)=e^{-x^{2}} (com 5 cadas decimais)
x_{i} 0.2 0.4 0.6
y_{i} 0.96078 0.85214 0.69767
(a) Na forma de Lagrange
(b) Na forma de Lagrange para pontos igualmente espaçados
(c) Na forma de Newton
(d) Na forma de Newton-Gregory
(e) use a forma de Newton para aproximar o valor f(0.28). Econtre o erro absoluto aproximado usando o valor exato para 5 casas: 0.92459 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Pontos fornecidos (pegos do enunciado):
    • x_0=0{,}2, y_0=0{,}96078.
    • x_1=0{,}4, y_1=0{,}85214.
    • x_2=0{,}6, y_2=0{,}69767.
  • Pedido:
    (a) Escrever P_2(x) na forma de Lagrange.
    (b) Escrever P_2(x) na forma de Lagrange adaptada para pontos igualmente espaçados.
    (c) Escrever P_2(x) na forma de Newton (divided differences).
    (d) Escrever P_2(x) na forma de Newton–Gregory (fórmula para nós igualmente espaçados).
    (e) Usar a forma de Newton para aproximar f(0{,}28) e calcular o erro absoluto usando o valor exato f(0{,}28)=0{,}92459.

Passo 2

Conceito e fórmula de Lagrange (mini-aula rápida e amigável):
  • A interpolaçao de Lagrange constrói um polinômio do grau \le 2 como combinação linear das bases de Lagrange \ell_i(x). Cada \ell_i satisfaz \ell_i(x_j)=\delta_{ij} (ou seja, vale 1 em x_i e 0 nos outros pontos).
  • Fórmula geral para três pontos:
\ell_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},\qquad \ell_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},\qquad \ell_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
E então
P_2(x)=y_0\ell_0(x)+y_1\ell_1(x)+y_2\ell_2(x).
Agora aplicamos com os nossos números (faço passo a passo das contas).

Passo 3

Cálculo explícito das \ell_i e da forma de Lagrange (a):
  • Calculo dos denominadores:
(x_0-x_1)(x_0-x_2)=(0{,}2-0{,}4)(0{,}2-0{,}6)=(-0{,}2)(-0{,}4)=0{,}08,
(x_1-x_0)(x_1-x_2)=(0{,}4-0{,}2)(0{,}4-0{,}6)=0{,}2\cdot(-0{,}2)=-0{,}04,
(x_2-x_0)(x_2-x_1)=(0{,}6-0{,}2)(0{,}6-0{,}4)=0{,}4\cdot0{,}2=0{,}08.
  • Portanto as bases são
\ell_0(x)=\frac{(x-0{,}4)(x-0{,}6)}{0{,}08}, \qquad \ell_1(x)=\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}6)}{-0{,}04}, \qquad \ell_2(x)=\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}4)}{0{,}08}.
  • Para facilitar a leitura, expandindo cada \ell_i:
\ell_0(x)=12{,}5x^2-12{,}5x+3,
\ell_1(x)=-25x^2+20x-3,
\ell_2(x)=12{,}5x^2-7{,}5x+1.
  • Agora combinando com os y_i:
P_2(x)=0{,}96078\,\ell_0(x)+0{,}85214\,\ell_1(x)+0{,}69767\,\ell_2(x).
  • Multiplicando e somando os coeficientes (contas mostradas): obtemos a forma polinomial padrão
P_2(x)=-0{,}572875\,x^2-0{,}199475\,x+1{,}02359.
  • Como o enunciado pediu com 5 casas decimais, apresento os coeficientes arredondados a 5 casas decimais:
P_2(x)=-0{,}57288\,x^2-0{,}19948\,x+1{,}02359.
(Isto responde o item (a): a forma de Lagrange está dada por P_2(x)=\sum y_i\ell_i(x) com as \ell_i acima; e a forma polinomial expandida é a mostrada.)

Passo 4

Forma de Lagrange para pontos igualmente espaçados (b) — explicação e construção:
  • Quando os pontos são igualmente espaçados com passo h, é prático usar a variável adimensional
t=\frac{x-x_1}{h},
porque para os nossos pontos com h=0{,}2 e x_1=0{,}4 temos:
x=0{,}2\Rightarrow t=-1,\qquad x=0{,}4\Rightarrow t=0,\qquad x=0{,}6\Rightarrow t=1.
  • A vantagem: as bases de Lagrange ficam simples para os nós t=-1,0,1. Calculando com t:
L_0(t)=\frac{t(t-1)}{2},\qquad L_1(t)=1-t^2,\qquad L_2(t)=\frac{t(t+1)}{2}.
  • Portanto a forma de Lagrange expressa em t (com t=(x-0{,}4)/0{,}2) é
P_2(x)=y_0\frac{t(t-1)}{2}+y_1(1-t^2)+y_2\frac{t(t+1)}{2},
onde \;t=\dfrac{x-0{,}4}{0{,}2} e y_0,y_1,y_2 são os valores dados.
  • Substituindo os y_i conhecidos:
P_2(x)=0{,}96078\frac{t(t-1)}{2}+0{,}85214(1-t^2)+0{,}69767\frac{t(t+1)}{2},\qquad t=\frac{x-0{,}4}{0{,}2}.
Esta é a resposta do item (b) — forma de Lagrange adaptada a nós igualmente espaçados (mais compacta e simétrica).

Passo 5

Forma de Newton (c) — explicação do método e cálculo das diferenças divididas:
  • Ideia rápida: escrever
P_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1),
onde f[x_i] são os valores e f[\cdots] são diferenças divididas.
  • Calculo das diferenças divididas com os nossos dados:
f[x_0]=0{,}96078,\qquad f[x_1]=0{,}85214,\qquad f[x_2]=0{,}69767.
Primeiras diferenças divididas:
f[x_0,x_1]=\frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0}=\frac{0{,}85214-0{,}96078}{0{,}2}=-0{,}54320.
f[x_1,x_2]=\frac{f[x_2]-f[x_1]}{x_2-x_1}=\frac{0{,}69767-0{,}85214}{0{,}2}=-0{,}77235.
Segunda diferença dividida:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{-0{,}77235-(-0{,}54320)}{0{,}4}=-0{,}572875.
  • Logo a forma de Newton é
P_2(x)=0{,}96078-0{,}54320\,(x-0{,}2)-0{,}572875\,(x-0{,}2)(x-0{,}4).
  • Se preferir com coeficientes arredondados a 5 casas (pedida no enunciado), pode-se escrever a segunda diferença como -0{,}57288. Assim a forma com 5 casas fica
P_2(x)=0{,}96078-0{,}54320\,(x-0{,}2)-0{,}57288\,(x-0{,}2)(x-0{,}4).
Observação: essa forma é algebraicamente equivalente à forma expandida do Passo 3 (mesmos coeficientes).

Passo 6

Forma de Newton–Gregory (d) — para nós igualmente espaçados (mini-aula e cálculo):
  • Newton–Gregory usa diferenças progressivas \Delta e a variável t=\dfrac{x-x_0}{h} com h=0{,}2. A fórmula (grau 2, forward) é
P_2(x)=y_0+t\,\Delta y_0+\frac{t(t-1)}{2}\,\Delta^2 y_0,
onde \Delta y_0=y_1-y_0 e \Delta^2 y_0=\Delta y_1-\Delta y_0.
  • Calculemos as diferenças:
\Delta y_0=y_1-y_0=0{,}85214-0{,}96078=-0{,}10864,
\Delta y_1=y_2-y_1=0{,}69767-0{,}85214=-0{,}15447,
\Delta^2 y_0=\Delta y_1-\Delta y_0=-0{,}15447-(-0{,}10864)=-0{,}04583.
  • Note a relação entre \Delta e as diferenças divididas:
f[x_0,x_1]=\frac{\Delta y_0}{h}=-0{,}54320,\qquad f[x_0,x_1,x_2]=\frac{\Delta^2 y_0}{2h^2}=-0{,}572875,
o que garante a consistência entre Newton e Newton–Gregory.
  • Escrevendo a fórmula com t=\dfrac{x-0{,}2}{0{,}2}:
P_2(x)=0{,}96078+t(-0{,}10864)+\frac{t(t-1)}{2}(-0{,}04583), \qquad t=\frac{x-0{,}2}{0{,}2}.
Isso responde o item (d).

Passo 7

Aproximação de f(0{,}28) usando a forma de Newton e cálculo do erro (e) — passo a passo numérico e interpretação:
  • Usarei a forma de Newton encontrada no Passo 5 com as diferenças calculadas com precisão obtida a partir dos y_i dados:
P_2(x)=0{,}96078-0{,}54320\,(x-0{,}2)-0{,}572875\,(x-0{,}2)(x-0{,}4).
  • Substituindo x=0{,}28:
x-0{,}2=0{,}08,\qquad x-0{,}4=-0{,}12.
  • Calculemos os termos:
\text{termo linear}= -0{,}54320\cdot 0{,}08 = -0{,}043456.
\text{termo quadrático}= -0{,}572875\cdot(0{,}08)(-0{,}12) = -0{,}572875\cdot(-0{,}0096)=+0{,}0054996.á
  • Soma final:
P_2(0{,}28)=0{,}96078-0{,}043456+0{,}0054996=0{,}9228236\approx0{,}92282.
  • Valor exato (fornecido): f(0{,}28)=0{,}92459.
  • Erro absoluto aproximado:
\lvert f(0{,}28)-P_2(0{,}28)\rvert=\lvert 0{,}92459-0{,}9228236\rvert=0{,}0017664\approx0{,}00177.
Interpretação rápida: o polinômio quadrático aproxima bem e^{-x^2} perto dos nós, e aqui o erro é da ordem 1{,}7\times10^{-3}.

Resposta

(a) P_2(x)=0{,}96078\displaystyle\frac{(x-0{,}4)(x-0{,}6)}{0{,}08}+0{,}85214\displaystyle\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}6)}{-0{,}04}+0{,}69767\displaystyle\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}4)}{0{,}08}.
P_2(x)=-0{,}57288\,x^{2}-0{,}19948\,x+1{,}02359.
(b) Com nós igualmente espaçados ( h=0{,}2, t=\dfrac{x-0{,}4}{0{,}2}):
P_2(x)=0{,}96078\frac{t(t-1)}{2}+0{,}85214(1-t^2)+0{,}69767\frac{t(t+1)}{2},\qquad t=\frac{x-0{,}4}{0{,}2}.
(c) Forma de Newton (diferenças divididas):
P_2(x)=0{,}96078-0{,}54320\,(x-0{,}2)-0{,}572875\,(x-0{,}2)(x-0{,}4).
(d) Forma Newton–Gregory (forward, com t=\dfrac{x-0{,}2}{0{,}2}):
P_2(x)=0{,}96078+t(-0{,}10864)+\frac{t(t-1)}{2}(-0{,}04583),\qquad t=\frac{x-0{,}2}{0{,}2}.
(e) Aproximação e erro:
P_2(0{,}28)=0{,}9228236\approx0{,}92282, \qquad \text{erro absoluto}\approx0{,}0017664\approx0{,}00177.

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