Use mudança de variável para aproximar:
Passo 1
O enunciado pede aproximar a integral
usando a regra de Gauss–Legendre de 3 pontos
. As informações dadas são:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Deve-se aplicar mudança de variável para usar a fórmula de Gauss–Legendre no intervalo padrão
.
Passo 2
Explicar a mudança de variável padrão: para transformar um integral de
em um integral sobre
usa-se a aplicação afim
onde
. A diferencial transforma-se como
Assim, de forma geral,
Passo 3
Aplicando com
e
:
portanto
A ideia é agora aproximar a integral em
por Gauss–Legendre com três pontos.
Passo 4
Regra de Gauss–Legendre com
: os nós e pesos no intervalo
são
A aproximação é
No nosso caso
. Então
Passo 5
Calcular numericamente os nós mapeados para
:
Logo
Passo 6
Avaliar
nos três pontos (usar aproximações decimais):
(este valor foi obtido pela expansão de Taylor em torno de
—
— para maior precisão),
(usou-se
com
e expansão para obter precisão).
Passo 7
Agora formar a soma com os pesos. Os pesos são
e
. Primeiro a combinação interna:
Substituindo os valores numéricos:
Somando:
Passo 8
Multiplicar por
(fator da mudança de variável):
Portanto a aproximação pelo esquema de Gauss–Legendre com 3 pontos é aproximadamente
. Pequena observação encorajadora: o valor exato é
, então o erro é da ordem de
, bem pequeno.