Use mudança de variável para aproximar:
\int_{1}^{2} \cos (x) d x \operatorname{com} I_{G L}(f, 3)

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral
\int_{1}^{2}\cos(x)\,dx
usando a regra de Gauss–Legendre de 3 pontos I_{GL}(f,3). As informações dadas são:
  • O integrando é f(x)=\cos(x).
  • O intervalo de integração é [a,b]=[1,2].
  • Deve-se aplicar mudança de variável para usar a fórmula de Gauss–Legendre no intervalo padrão [-1,1].

Passo 2

Explicar a mudança de variável padrão: para transformar um integral de [a,b] em um integral sobre [-1,1] usa-se a aplicação afim
x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,t,
onde t\in[-1,1]. A diferencial transforma-se como
dx = \frac{b-a}{2}\,dt.
Assim, de forma geral,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{1} f\!\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t\right)\,dt.

Passo 3

Aplicando com a=1 e b=2:
\frac{a+b}{2}=1{,}5,\qquad \frac{b-a}{2}=\tfrac{1}{2}=0{,}5,
portanto
\int_{1}^{2}\cos(x)\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{-1}^{1}\cos\!\left(1{,}5+0{,}5\,t\right)\,dt.
A ideia é agora aproximar a integral em t\in[-1,1] por Gauss–Legendre com três pontos.

Passo 4

Regra de Gauss–Legendre com n=3: os nós e pesos no intervalo [-1,1] são
t_1 = -\sqrt{\tfrac{3}{5}},\quad t_2=0,\quad t_3=\sqrt{\tfrac{3}{5}},
w_1 = w_3 = \tfrac{5}{9},\qquad w_2=\tfrac{8}{9}.
A aproximação é
\int_{-1}^{1}g(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{3} w_i\,g(t_i).
No nosso caso g(t)=\cos\!\left(1{,}5+0{,}5\,t\right). Então
\int_{1}^{2}\cos(x)\,dx \approx \tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{3} w_i\,\cos\!\left(1{,}5+0{,}5\,t_i\right).

Passo 5

Calcular numericamente os nós mapeados para x:
\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 0{,}7745966692414834.
Logo
x_1 = 1{,}5 + 0{,}5\cdot(-0{,}7745966692414834)=1{,}1127016653792583,
x_2 = 1{,}5 + 0{,}5\cdot 0 = 1{,}5,
x_3 = 1{,}5 + 0{,}5\cdot 0{,}7745966692414834=1{,}8872983346207417.

Passo 6

Avaliar f(x)=\cos(x) nos três pontos (usar aproximações decimais):
\cos(1{,}5)\approx 0{,}0707372016677029,
\cos(1{,}1127016653792583)\approx 0{,}44271961255
(este valor foi obtido pela expansão de Taylor em torno de 1{,}047197551 60^\circ — para maior precisão),
\cos(1{,}8872983346207417)\approx -0{,}311210816
(usou-se \cos(x)=-\cos(\pi-x) com \pi-x\approx 1{,}2542943186 e expansão para obter precisão).

Passo 7

Agora formar a soma com os pesos. Os pesos são w_1=w_3=\tfrac{5}{9} e w_2=\tfrac{8}{9}. Primeiro a combinação interna:
S = \tfrac{5}{9}\cos(1{,}1127016653)+\tfrac{8}{9}\cos(1{,}5)+\tfrac{5}{9}\cos(1{,}8872983346).
Substituindo os valores numéricos:
\tfrac{8}{9}\cos(1{,}5)\approx 0{,}0628775125935137,
\tfrac{5}{9}\big(\cos(1{,}1127016653)+\cos(1{,}8872983346)\big) \approx \tfrac{5}{9}\cdot 0{,}13150879655 \approx 0{,}0730604425278.
Somando:
S \approx 0{,}0628775125935 + 0{,}0730604425278 = 0{,}1359379551213.

Passo 8

Multiplicar por \tfrac{1}{2} (fator da mudança de variável):
\tfrac{1}{2}S \approx \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}1359379551213 \approx 0{,}0679689775606.
Portanto a aproximação pelo esquema de Gauss–Legendre com 3 pontos é aproximadamente 0{,}06796898. Pequena observação encorajadora: o valor exato é \sin(2)-\sin(1)\approx 0{,}06782644, então o erro é da ordem de 1{,}4\times 10^{-4}, bem pequeno.

Resposta

0,06796898

Exercícios relacionados