(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) approx Tn(x) quando x estiver no intervalo dado.
7. f(x)=sen x, a=pi / 4, n=5, 0 <= x <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede dois itens para f(x)=sen x em torno de a=pi/4 com grau n=5 e intervalo 0<= x<=pi/2:
  1. Construir o polinômio de Taylor T5(x).
  2. Estimar o erro l|f(x)-T5(x)r| usando a desigualdade de Taylor.

Passo 2

Para montar T5(x) usamos
T5(x)=sumk=0^5f^(k)(a)k!(x-a)^k,
onde as derivadas de sen x ciclam em quatro:
f(a)=senpi4=raiz22,
f'(a)=cospi4=raiz22,
f''(a)=-senpi4=-raiz22,
f'''(a)=-cospi4=-raiz22,
f^(4)(a)=senpi4=raiz22,
f^(5)(a)=cospi4=raiz22
Substituindo:
T5(x) =raiz22l[ 1+(x-tfracpi4) -(x-tfracpi4)^22! -(x-tfracpi4)^33! +(x-tfracpi4)^44! +(x-tfracpi4)^55! r]

Passo 3

Para o resto de Taylor usamos
R5(x)=f(x)-T5(x), |R5(x)|<=M6!l|x-ar|^6,
onde M=max,xiin[0,pi/2]l|f^(6)(xi)r|. Como f^(6)(x)=-sen x, segue l|f^(6)(x)r|=|sen x|<=1. Logo
|R5(x)|<=|x-tfracpi4|^66! <=l(tfracpi4r)^6720

Resposta

T5(x)=raiz22l[ 1+(x-tfracpi4) -(x-tfracpi4)^22 -(x-tfracpi4)^36 +(x-tfracpi4)^424 +(x-tfracpi4)^5120 r]
Erro máximo no intervalo 0<= x<=pi/2:
|f(x)-T5(x)|<=l(tfracpi4r)^6720approx3,3times10^-4

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