(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) approx Tn(x) quando x estiver no intervalo dado.
8. f(x)=raiz[3]1+x^2, a=0, n=2, |x| <= 0,5

Passo 1

O enunciado pede dois itens para
f(x)=raiz[3]1+x^2, no ponto a=0 e grau n=2:
  1. Encontrar o polinômio de Taylor T2(x) em torno de 0.
  2. Usar a forma de Lagrange da desigualdade de Taylor para estimar o erro l|f(x)-T2(x)r| quando |x|<=0,5.

Passo 2

Calculamos as derivadas em x=0:
f(x)=(1+x^2)^1/3,
f'(x)=tfrac2x3,(1+x^2)^2/3 Longrightarrow f'(0)=0,
f''(x)=tfrac23,(1+x^2)^-5/3,l(1-tfracx^23r) Longrightarrow f''(0)=tfrac23
Logo o polinômio de Taylor de grau 2 em torno de 0 é
T2(x)=f(0)+f'(0),x+tfracf''(0)2,x^2 =1+0cdot x+tfrac12,l(tfrac23r)x^2 =1+tfrac13,x^2

Passo 3

Para a desigualdade de Taylor precisamos de uma cota M para
l|f^(3)(x)r| em |x|<=0,5. Um cálculo dá
f^(3)(x) =-8,x,(9-x^2)27,(1+x^2)^8/3,
então
l|f^(3)(x)r| =8,|x|,(9-x^2)27,(1+x^2)^8/3 <=8cdot0,5cdot927cdot1^8/3 =3627 =43
Podemos usar M=tfrac43.

Passo 4

A forma de Lagrange da desigualdade de Taylor diz que, para |x|<=0,5:
l|R2(x)r| =l|f(x)-T2(x)r| <= M,|x-0|^33! =4/36,|x|^3 =29,|x|^3
Como |x|<=0,5, temos
l|R2(x)r| <=29,(0,5)^3 =29,18 =136 approx0,028

Resposta

(a) T2(x)=1+tfrac13,x^2
(b) Para |x|<=0,5,
l|f(x)-T2(x)r|<=136approx0,028

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