(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) approx Tn(x) quando x estiver no intervalo dado.
9. f(x)=x^3 / 4, a=16, n=3, 15 <= x <= 17

Passo 1

Estamos aproximando a função
f(x)=x^3/4
por um polinômio de Taylor de grau n=3 em torno de a=16. Isso envolve calcular f(a), f'(a), f''(a) e f'''(a), montar
T3(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)2!(x-a)^2+f'''(a)3!(x-a)^3
e usar a Desigualdade de Taylor (resto de Lagrange)
l|R3(x)r|<= M4!,l|x-16r|^4,
onde M=max15<=xi<=17|f^(4)(xi)|.

Passo 2

Calculemos as derivadas de ordem até 3 e avalie em x=16.
Para f(x)=x^3/4:
f'(x)=tfrac34,x^-1/4, f''(x)=tfrac34l(-tfrac14r)x^-5/4=-tfrac316,x^-5/4,
f'''(x)=-tfrac316l(-tfrac54r)x^-9/4=tfrac1564,x^-9/4
Em x=16 (lembre que 16=2^4):
f(16)=16^3/4=8, f'(16)=tfrac34,16^-1/4=tfrac38, f''(16)=-tfrac316,16^-5/4=-tfrac3512,
f'''(16)=tfrac1564,16^-9/4=tfrac1532768

Passo 3

Substituindo em
T3(x)=f(16)+f'(16)(x-16)+f''(16)2(x-16)^2+f'''(16)6(x-16)^3
obtemos
T3(x) =8+tfrac38(x-16) -tfrac32cdot512(x-16)^2 +tfrac156cdot32768(x-16)^3
ou seja
T3(x) =8+38(x-16) -31024(x-16)^2 +15196608(x-16)^3

Passo 4

A derivada de ordem 4 é
f^(4)(x) =1564l(-tfrac94r)x^-13/4 =-135256,x^-13/4
No intervalo [15,17] a função x^-13/4 é decrescente, logo
M=max15<=xi<=17l|f^(4)(xi)r| =l|f^(4)(15)r| =135256,15^-13/4

Passo 5

Pelo resto de Lagrange com n=3 e l|x-16r|<=1 em [15,17],
l|R3(x)r|<=M4!,1^4 =124,135256,15^-13/4 =1356144,15^-13/4 approx3,3times10^-6

Resposta

(a)
T3(x) =8+38(x-16) -31024(x-16)^2 +15196608(x-16)^3
(b) Para todo xin[15,17],
l|f(x)-T3(x)r|<=1356144,15^-13/4 approx3,3times10^-6

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