Use o item (a) para resolver o seguinte problema de valor inicial pelo método das tran formadas de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das Transformadas de Laplace. A gente tem uma equação de segunda ordem com condições iniciais dadas. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente como transformar derivadas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
E para o lado direito:
Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 4
Vamos isolar
:
Para simplificar, vamos escrever o numerador de forma a facilitar a aplicação da transformada inversa:
No entanto, essa expressão pode ser complexa para simplificar diretamente. Vamos rearranjar a equação original para facilitar:
Agora, vamos decompor em frações parciais e aplicar a transformada inversa.
Passo 5
A expressão
no denominador pode ser completada para formar uma expressão que facilite a inversão:
Agora, reescrevemos
:
Vamos identificar cada termo e aplicar a transformada inversa correspondente. Utilizando tabelas de transformadas de Laplace, sabemos que:
Aplicando essas propriedades e simplificando, obtemos a solução no domínio do tempo.
Resposta
A solução da equação diferencial é: