Use a transformada de Laplace para determinar a carga Q(t) no capacitor inicialmente de regado, que está num circuito em série R C com R=50 ohms e C=0,01 farad. Esse cir e alimentado por uma força eletromotriz (em volt V ) dada por
E(t)=l 90, se 2 <= t<10 0, caso contrário á

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um circuito série com um resistor de 50 ohms e um capacitor de 0,01 farad. O capacitor já está inicialmente carregado. A fonte de tensão E(t) fornece 90 volts entre 2 e 10 segundos e 0 volts fora desse intervalo. Nosso objetivo é encontrar a carga Q(t) no capacitor ao longo do tempo usando a transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar a equação do circuito e aplicar a transformada de Laplace para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a lei de Kirchhoff das tensões, que diz que a soma das quedas de tensão em um circuito fechado é igual à tensão fornecida. Para um circuito RC série, isso fica:
E(t) = VR(t) + VC(t)
Sabemos que VR(t) = R cdot i(t) e VC(t) = Q(t)C , onde i(t) é a corrente no circuito e Q(t) é a carga no capacitor.
Como a corrente i(t) é a taxa de variação da carga, temos i(t) = dQ(t)dt . Substituindo isso na equação:
E(t) = R cdot dQ(t)dt + Q(t)C

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para deixar tudo em termos de Q(t) :
R cdot dQ(t)dt + Q(t)C = E(t)
Dividindo todos os termos por R :
dQ(t)dt + 1RC Q(t) = E(t)R

Passo 4

Vamos substituir os valores dados para R e C :
dQ(t)dt + 150 cdot 0,01 Q(t) = E(t)50
Simplificando:
dQ(t)dt + 2 Q(t) = E(t)50

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que LdQ(t)dt = sQ(s) - Q(0) e LQ(t) = Q(s) . Assim, temos:
sQ(s) - Q(0) + 2Q(s) = LE(t)50

Passo 6

Assumindo que o capacitor está inicialmente carregado com uma carga Q(0) , precisamos considerar esse valor. No entanto, como a carga inicial não foi especificada na questão, vamos assumir Q(0) = 0 para simplificar. Então:
sQ(s) + 2Q(s) = LE(t)50
Fatorando Q(s) :
Q(s)(s + 2) = LE(t)50
Logo:
Q(s) = LE(t)50(s + 2)

Passo 7

Agora, precisamos calcular a transformada de Laplace de E(t) . A função E(t) é uma função degrau que está ativa de 2 a 10 segundos. Podemos expressar E(t) usando funções de Heaviside u(t) :
E(t) = 90 cdot [u(t - 2) - u(t - 10)]
Onde u(t - a) é zero para t < a e um para t >= a . Aplicando a transformada de Laplace:
LE(t) = 90 ( e^-2ss - e^-10ss )

Passo 8

Substituindo LE(t) na expressão para Q(s) :
Q(s) = 90 ( e^-2ss - e^-10ss )50(s + 2) = 9 ( e^-2s - e^-10s )5s(s + 2)

Passo 9

Agora, vamos simplificar e preparar para a inversa da transformada de Laplace:
Q(s) = 95 ( e^-2ss(s + 2) - e^-10ss(s + 2) )
Podemos decompôr 1s(s + 2) em frações parciais:
1s(s + 2) = 12s - 12(s + 2)
Então:
Q(s) = 95 [ ( 12s - 12(s + 2) ) e^-2s - ( 12s - 12(s + 2) ) e^-10s ]

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace usando a propriedade de deslocamento para funções como e^-asF(s) , que correspondem a f(t - a)u(t - a) no domínio do tempo:
Q(t) = 95 [ ( 12 - 12e^-2(t - 2) )u(t - 2) - ( 12 - 12e^-2(t - 10) )u(t - 10) ]
Simplificando:
Q(t) = 910 [ (1 - e^-2(t - 2))u(t - 2) - (1 - e^-2(t - 10))u(t - 10) ]

Resposta

A carga no capacitor ao longo do tempo é dada por:
Q(t) = 910 [ (1 - e^-2(t - 2))u(t - 2) - (1 - e^-2(t - 10))u(t - 10) ] coulombs

Exercícios relacionados