Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor inicialmente de regado, que está num circuito em série com ohms e farad. Esse cir e alimentado por uma força eletromotriz (em volt ) dada por
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um circuito série com um resistor de 50 ohms e um capacitor de 0,01 farad. O capacitor já está inicialmente carregado. A fonte de tensão E(t) fornece 90 volts entre 2 e 10 segundos e 0 volts fora desse intervalo. Nosso objetivo é encontrar a carga Q(t) no capacitor ao longo do tempo usando a transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar a equação do circuito e aplicar a transformada de Laplace para resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a lei de Kirchhoff das tensões, que diz que a soma das quedas de tensão em um circuito fechado é igual à tensão fornecida. Para um circuito RC série, isso fica:
E(t) = VR(t) + VC(t)
Sabemos que VR(t) = R cdot i(t) e VC(t) = Q(t)C , onde i(t) é a corrente no circuito e Q(t) é a carga no capacitor.
Como a corrente i(t) é a taxa de variação da carga, temos i(t) = dQ(t)dt . Substituindo isso na equação:
E(t) = R cdot dQ(t)dt + Q(t)C
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para deixar tudo em termos de Q(t) :
R cdot dQ(t)dt + Q(t)C = E(t)
Dividindo todos os termos por R :
dQ(t)dt + 1RC Q(t) = E(t)R
Passo 4
Vamos substituir os valores dados para R e C :
dQ(t)dt + 150 cdot 0,01 Q(t) = E(t)50
Simplificando:
dQ(t)dt + 2 Q(t) = E(t)50
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que LdQ(t)dt = sQ(s) - Q(0) e LQ(t) = Q(s) . Assim, temos:
sQ(s) - Q(0) + 2Q(s) = LE(t)50
Passo 6
Assumindo que o capacitor está inicialmente carregado com uma carga Q(0) , precisamos considerar esse valor. No entanto, como a carga inicial não foi especificada na questão, vamos assumir Q(0) = 0 para simplificar. Então:
sQ(s) + 2Q(s) = LE(t)50
Fatorando Q(s) :
Q(s)(s + 2) = LE(t)50
Logo:
Q(s) = LE(t)50(s + 2)
Passo 7
Agora, precisamos calcular a transformada de Laplace de E(t) . A função E(t) é uma função degrau que está ativa de 2 a 10 segundos. Podemos expressar E(t) usando funções de Heaviside u(t) :
E(t) = 90 cdot [u(t - 2) - u(t - 10)]
Onde u(t - a) é zero para t < a e um para t >= a . Aplicando a transformada de Laplace:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace usando a propriedade de deslocamento para funções como e^-asF(s) , que correspondem a f(t - a)u(t - a) no domínio do tempo: