(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
10.
Passo 1
O enunciado pede dois itens sobre a expansão de Taylor de em torno de até o grau :
Encontrar o polinômio de Taylor .
Estimar o erro para todo usando a desigualdade de Taylor.
Para isso precisamos das derivadas de em e da fórmula do resto em termos de uma cota para a derivada de ordem .
Passo 2
Calculemos as derivadas necessárias e seus valores em :
Em temos
Passo 3
O polinômio de Taylor de grau 3 é
Substituindo os valores:
logo
Passo 4
Pela desigualdade de Taylor, existe tal que, para todo ,