(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) approx Tn(x) quando x estiver no intervalo dado.
10. f(x)=ln x, a=4, n=3, 3 <= x <= 5

Passo 1

O enunciado pede dois itens sobre a expansão de Taylor de f(x)=ln x em torno de a=4 até o grau n=3:
  1. Encontrar o polinômio de Taylor T3(x).
  2. Estimar o erro R3(x)=f(x)-T3(x) para todo xin[3,5] usando a desigualdade de Taylor.
Para isso precisamos das derivadas de f em a e da fórmula do resto em termos de uma cota para a derivada de ordem n+1.

Passo 2

Calculemos as derivadas necessárias e seus valores em x=4:
f(x)=ln x, f'(x)=1x, f''(x)=-1x^2, f'''(x)=2x^3, f^(4)(x)=-6x^4
Em x=4 temos
f(4)=ln4, f'(4)=14, f''(4)=-116, f'''(4)=264=132

Passo 3

O polinômio de Taylor de grau 3 é
T3(x) =f(4)+f'(4)(x-4)+f''(4)2!(x-4)^2+f'''(4)3!(x-4)^3
Substituindo os valores:
T3(x) =ln4 +14(x-4) -116(x-4)^22 +132(x-4)^36,
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T3(x) =ln4 +14(x-4) -132(x-4)^2 +1192(x-4)^3

Passo 4

Pela desigualdade de Taylor, existe M>=maxtin[3,5]|f^(4)(t)| tal que, para todo xin[3,5],
|R3(x)|<= M4!,l|x-4r|^4
Como
|f^(4)(t)|=6t^4
decresce em t, seu máximo em [3,5] ocorre em t=3:
M=63^4=681=227

Passo 5

Substituindo M e 4!=24, obtemos
|R3(x)|<= 2/2724,l|x-4r|^4 =1324,l|x-4r|^4
Em [3,5] temos lvert x-4rvert<=1, portanto
|R3(x)|<= 1324approx0,003086

Resposta

(a) T3(x)=ln4+14(x-4)-132(x-4)^2+1192(x-4)^3
(b) Para todo xin[3,5],
|f(x)-T3(x)|<=1324approx0,003086

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