Resolva as EDOs:
(cos x) dotx+2 t sen(x)=-2 t

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(cos x),dot x + 2t,sin x = -2t
e pede a solução x(t). Aqui o conteúdo é equação de primeira ordem separável, então vamos isolar x de um lado e t do outro para integrar.

Passo 2

Primeiro escrevemos em forma separável. Da equação original temos
cos x,dxdt = -2t - 2t,sin x = -2t,(1+sin x)
Logo
cos x1+sin x,dx = -2t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. À esquerda note que, se fizermos u=sin x, então du=cos x,dx e
integral cos x1+sin x,dx = integral du1+u = lnl|1+ur| = lnl(1+sin xr)
À direita
integral -2t,dt = -t^2 + C
Portanto obtemos
lnl(1+sin xr) = -,t^2 + C

Passo 4

Exponenciando, definindo A=e^C, vem
1+sin x = A,e^-t^2,
ou seja
sin x = A,e^-t^2 - 1
Isso fornece a solução geral de forma implícita. Se quisermos explicitar x, temos
x(t) = arcsinl(A,e^-t^2 - 1r),
onde A é constante de integração determinada pela condição inicial.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
lnl(1+sin xr)+t^2 = C
ou explicitamente por
sin x = C,e^-t^2 - 1,
com C constante de integração.

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