(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) \approx T_{n}(x) quando x estiver no intervalo dado.
f(x)=x^{3 / 4},
a=16,
n=3,
15
\leq x \leq 17

Passo 1

O problema pede (a) construir o polinômio de Taylor de grau n=3 de
f(x)=x^{3/4}
em torno de a=16, e (b) usar a desigualdade de Taylor para estimar o erro \bigl|f(x)-T_{3}(x)\bigr| quando x\in[15,17]. Para isso precisaremos das derivadas de f até a ordem 4 e da fórmula do resto de Taylor em forma de desigualdade.

Passo 2

Calcular as primeiras quatro derivadas de f(x)=x^{3/4}:
f'(x)=\frac{3}{4}x^{-1/4},\quad f''(x)=-\frac{3}{16}x^{-5/4},\quad f^{(3)}(x)=\frac{15}{64}x^{-9/4},\quad f^{(4)}(x)=-\frac{135}{256}x^{-13/4}.

Passo 3

Avaliar as três primeiras derivadas em x=16 e montar T_{3}(x):
f(16)=16^{3/4}=8,\quad f'(16)=\frac{3}{4}\,16^{-1/4}=\frac{3}{8},\quad f''(16)=-\frac{3}{16}\,16^{-5/4}=-\frac{3}{512},\quad f^{(3)}(16)=\frac{15}{64}\,16^{-9/4}=\frac{15}{32768}.
Logo
T_{3}(x)=8 +\frac{3}{8}(x-16) +\frac{f''(16)}{2!}(x-16)^{2} +\frac{f^{(3)}(16)}{3!}(x-16)^{3} =8+\frac{3}{8}(x-16) -\frac{3}{1024}(x-16)^{2} +\frac{5}{65536}(x-16)^{3}.

Passo 4

A forma da desigualdade de Taylor para o resto é
\bigl|R_{3}(x)\bigr| =\bigl|f(x)-T_{3}(x)\bigr| \le \frac{M}{4!}\,\bigl|x-16\bigr|^{4},
onde
M=\max_{z\in[15,17]}\bigl|f^{(4)}(z)\bigr| =\max_{z\in[15,17]}\frac{135}{256}\,z^{-13/4}.
Como z^{-13/4} é decrescente, o máximo ocorre em z=15, logo
M=\frac{135}{256}\,15^{-13/4}.

Passo 5

No intervalo dado \bigl|x-16\bigr|\le1, temos
\bigl|R_{3}(x)\bigr|\le \frac{135}{256}\,15^{-13/4}\;\frac{1}{4!} =\frac{135}{256}\,15^{-13/4}\;\frac{1}{24}.
Uma estimativa numérica rápida é
15^{13/4}=15^{3}\,15^{1/4}\approx3375\cdot1,97\approx6648{,}8 \quad\Longrightarrow\quad M\approx\frac{135}{256\cdot6648{,}8}\approx7{,}9\times10^{-5},
então
\bigl|R_{3}(x)\bigr|\le\frac{7{,}9\times10^{-5}}{24}\approx3{,}3\times10^{-6}.

Resposta

(a)
T_{3}(x) =8+\frac{3}{8}(x-16) -\frac{3}{1024}(x-16)^{2} +\frac{5}{65536}(x-16)^{3}.
(b) Para 15\le x\le17,
\bigl|f(x)-T_{3}(x)\bigr|\le \frac{135}{256}\,15^{-13/4}\,\frac{1}{24} \approx3{,}3\times10^{-6}.

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